2025高考数学全国Ⅰ卷第4题突破正切对称中心（一题多解）（含答案解析）

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【2025年新高考全国一卷T4】若点a,0a>0是函数y=2tanx−π3的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．π6 B．π3 C．π2 D．4π3
【本题源自人教A版必修第一册第214页习题5.4第19题】容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题.
【解析】由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为(kπ,0) (k∈Z)，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为x=kπ+π2(k∈Z).由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为π2+kπ,0(k∈Z)，对称轴的方程是x=kπ(k∈Z)，正切曲线的对称中心坐标为kπ2,0(k∈Z)，正切曲线不是轴对称图形.
【试题探源】教学中要重视课本习题的深度挖掘，不仅要掌握知识结论，更要理解探究过程（如对称性的推导逻辑 ）.高考复习需以课本为根基，拓展知识应用场景，强化知识间的关联与迁移，提升学生应对高考灵活题型的能力
由正切函数的对称中心，得出正弦型函数y=2tanx−π3的对称中心，进而对k进行赋值结合a>0，确定a的最小值.
因为tanx的对称中心为kπ2,0,k∈Z，所以y=2tanx−π3的对称中心为kπ2+π3,0,k∈Z，所以a=kπ2+π3,k∈Z，又a>0，所以a的最小值为π3，选B．
1．把函数fx=tan12x的图象向右平移a个单位长度后得到函数gx的图象，且gx的图象关于点6a,0对称，则a的最小正值为 ．
2．若y=3sinωx+π12+2的图象向右平移π6个单位后与自身重合，且y=tanωx的一个对称中心为π48,0，则ω的最小正值为 ．
由正切函数的性质得到tanx的对称中心，进而利用平移变换确定y=2tanx−π3的对称中心，进而对k进行赋值结合a>0，确定a的最小值.
tanx的对称中心为kπ2,0,k∈Z，向右平移π3个长度单位，得y=2tanx−π3的对称中心为kπ2+π3,0，k∈Z，所以a=kπ2+π3,k∈Z，又a>0，所以a的最小值为π3，选B．
3．已知fx=tan2x+π3，若函数fx+m为奇函数，则最小正数m的值为 .
根据题意，观察选项，依次从小到大代入检验即可.
根据题意，观察选项，依次从小到大代入检验直至满足即可，当a=π4时，y=2tanπ4−π3≠0，不满足题意；
当a=π3时，y=2tanπ3−π3=0，满足题意；
故选：B．
4．设函数fx=2tanωx−π3ω>0的图象的一个对称中心为π6,0，则fx的一个最小正周期是（ ）
A．π3B．π4C．π5D．2π5
5．已知函数fx=tan3x+φ φ≤π4的图象关于点−π9,0对称，则fπ12=（ ）
A．−2−3B．−2+3C．2−3D．2+3
6．将函数y=tan(ωx−π2)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π6个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为（ ）
A．32B．2C．3D．6
7．已知ω>0，f(x)=1+tanωx1−tanωx，f(x+π3)的图象与f(x)的图象关于点(π3,0)对称，则ω的最小值为
A．12B．1C．32D．2
8．已知函数fx=−tanωx0