四川省绵阳市2024_2025学年高三数学上学期10月联考试题

这是一份四川省绵阳市2024_2025学年高三数学上学期10月联考试题，共7页。试卷主要包含了下列函数是偶函数的是，下列叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. x-11,则数列bn为递增数列
C.若b2=ac,则a、b、c成等比数列
D.若S2n-1是等比数列cn的前2n-1项和,则S2n-1=0无解
10.设函数f(x)=-x+alnx+b,若f(x)≤0,则a2+b2的最值情况是( )
A.有最大值B.无最大值C.有最小值D.无最小值
11.定义在R上的函数fx的导函数为gx,且满足下列条件:
f2x+f-2-2x=0,g2x=-g(2-2x),且f1=1.
则下列正确的是( )
A.函数y=gx的周期为8 B.函数y=g2x的图象关于点1,0对称
C.函数y=fx的图象关于点-1,0对称 D.i=12024f(i)=0
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)
12.若数列an的通项公式是an=2n,且等比数列bn满足b2=a1,b5=a8,则bn=_____.
13.设函数f(x)=sinωxω>0,已知f(x1)=1,f(x2)=0,且x1-x2的最小值为π2,则ω=_____.
14.在如下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有1个方格被选中,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最小值是_____.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分) 2021年8月,义务教育阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况,随机选取了400人进行调查问卷,整理后获得如下统计表:
(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人,则应在A组、B组各抽取多少人？
(2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附:
参考公式:,其中.
16.(15分)阅读一元二次方程韦达定理的推导过程,完成下列问题:
设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0,a,b,c∈R的两根为x1,x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),
展开得: ax2+bx+c=ax2-ax1+x2x+ax1x2,比较系数得: b=-ax1+x2,c= ax1x2,
于是x1+x2=-ba,x1x2=ca.
(1)已知一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0,a,b,c,d∈R的三个根为x1,x2,x3,类比于上述推导过程,求x1x2x3;
(2)已知fx=x3-6x2+9x+1,若存在三个不相等的实数m,n,t,使得fm=fn=ft,求mnt的取值范围.
17.(15分)如图所示,l1与l2之间的距离为2,l2与l3之间的距离为1,且点A、B、C分别在l1、l2、l3上运动,∠CAB=π3,令∠CAF=α.
(1)判断△ABC能否为正三角形？若能,求出其边长的值;若不能,请说明理由;
(2)求△ABC面积的最小值.
18.(17分)已知函数fx=12ax2+4x-lnx(a∈R).
(1)若函数y=fx在0,+∞上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)“若函数y=fx在(0,1)上只有一个极值点,求实数a取值的集合”,某同学给出了如下解法:
由f'x=24ax+4-1x=24ax2+4x-1x=0在(0,1)上只有一个实数根,所以△=16+96a=0,得a=-16,此时x=12∈0,1.所以,实数a取值的集合为{-16}.
上述解答正确吗？若不正确,说明理由,并给出正确的解答;
(3)若函数fx有两个极值点x1,x2,证明:fx1+fx2>3+2ln2.
19.(17分)设函数fx=ex.
(1)设g(x)=fx-ax-1,讨论g(x)的单调区间;
(2)设曲线y=fx在点(n,fn)(n≥2,n∈N)处的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为Sn,令cn=Snn2,求i=2nlncn;
(3)若,fax≥sinx-csx+2,求实数a的取值范围.
数学参考答案
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)
D B D A A B B C
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)
9.AD 10.BC 11.ACD
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.2n-1 13.1 14.126
四、解答题(本题共5小题,共77分.)
15.(1)应在A组抽取人,应在B组抽取人.
(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,
根据列联表中的数据,经计算可得,
根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d= a(x-x1)(x-x2)(x-x3),
展开得: ax3+bx2+cx+d=ax3-ax1+x2+x3x2+ax1x2+x2x3+x3x1 x-ax1x2x3,
比较系数得d=-ax1x2x3,即x1x2x3=-da.
(2) 令fm=fn=ft=s,则m,n,t是方程fx-s=0的三根,
即为x3-6x2+9x+1-s=0的三个不等根,由上知mnt=s-1.
f'x=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),于是fx在-∞,1上递增,在1,3上递减,在3,+∞上递增,
且f0=f3=1,f1=f4=5,函数fx的大致图象如下:
为使得y=fx与y=s有三个不同的交点,
则s∈1,5,故mnt=s-1∈0,4.
17.如下图所示,过C作CD⊥l1,过B作BE⊥l1,垂足分别为D、E.
因∠CAF=α,且∠CAB=π3,所以00,g(x)单调递增.
综上,当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,g(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).
(2)由题意易得曲线y=fx在点(n,fn)处的切线方程为y-en=en(x-n).
设切线与x轴、y轴相交所得的横截距与纵截距分别为an,bn.
则令y=0,解得an=n-1,令x=0,解得bn=-en(n-1).
则所围成三角形的面积Sn=12anbn=12(n-1)2en
则cn=Snn2=(n-1)2en2n2,lncn=ln(n-1)2en2n2=ln12+ln(n-1)2n2+lnen=2lnn-1n+n-ln2,
i=2nlncn=i=2n2lnn-1n+n-ln2=i=2n2lnn-1n+i=2nn-i=2nln2
=2ln1n+(2+n)(n-1)2-(n-1)ln2=n2+n-22-2lnn-(n-1)ln2.
(3)fax≥sinx-csx+2即,令,
则,
①当时,因为,所以,,
令,则,则函数单调递增,且,即;
由(1)可知当a=1时,g(x)≥g(0)=0,即fx≥x+1,所以,则,所以函数在上单调递增,且,
即恒成立.
②当时,,存在实数,使得均有,
则函数在上单调递减,且,不符合题意,所以当时,不符合题意.
综上,a的取值范围为.
8
27
32
62
3
23
37
63
6
27
38
66
5
26
39
66
喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课(A组)
150
50
200
未选奥数课(B组)
90
110
200
总计
240
160
400