山西省2025届初中学业水平学情调研测试（省一模）数学试卷(含解析)

这是一份山西省2025届初中学业水平学情调研测试（省一模）数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数可能是下列四个数中的（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
解：根据数轴上点的位置得到，点表示的数可能是，
故选：A ．
2. 下列气象生活指数图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 路况指数B. 运动指数
C. 过敏指数D. 穿衣指数
【答案】B
解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：A、，不是同类二次根式不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，中央有一个贯通上下的圆孔，是中国古代的一种礼仪重器．观察如图所示的玉琮模型，得到的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：从上方看组合体，可得它的俯视图是，
故选：A．
5. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C
6. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，7个月后得到如下统计结果：
在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
解：平均数：，
方差：，
∴从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是丁，
故选：D ．
7. 墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：∵矩形瓷砖与矩形瓷砖，且规格相同，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：
，
故选：B．
9. 如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点O）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解：∵取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点O）．
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
但，，不一定成立．
故选：D．
10. 如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：如图，连接，交于点，连接，，
∵正八边形内接于，
∴过圆心，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选：C
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，求解扇形面积，三角形的中线等分三角形面积，作出合适的辅助线是解本题的关键.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：2x﹣x2＝_____．
【答案】x（2﹣x）
解：2x﹣x2
＝x（2﹣x），
故答案为：x（2﹣x）．
12. 八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有5000名学生，随机调查了200名学生，其中有90名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是______．
【答案】
解：随机调查了200名学生，其中有90名学生去过八路军太行纪念馆，
在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是，
故答案为：．
13. 信息小组通过编程设计6个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人A，B的坐标分别为，，则机器人C的坐标为______．
【答案】
解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系

由图可知机器人C的坐标是
故答案为：
14. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为______．
【答案】
解：∵，
∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为，即，
故答案为：．
15. 如图，在中，，于点E，点F在边上，且，．若，则的长为______．
【答案】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
过点A作于点M，过点E作于点N，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
当时，，（不符合题意，舍去）
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
解：（1）
．
（2）
②－①，得，，
将代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是．
17. 如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式及的值；
（2）过点作轴于点，连接．请直接写出的面积．
【答案】（1），
（2）27
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例的函数表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
【小问2详解】
解：，，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线与轴交于点的坐标为，
∵过点作轴于点，
∴，
∴，
∴
，
∴面积为27．
18. 健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出A，B两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择50人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：5分；比较满意：4分；基本满意：3分；不太满意：2分；不满意：1分】评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表：
两种套餐各项满意度得分平均数
请根据上述信息，解决下列问题：
（1）补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分；
（2）小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给A套餐打5分的人数多于给B套餐打5分的人数，因此她判断A套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）；
（3）食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按3：4：3的比例计算满意度综评得分，并求得A套餐综评得分为3.744分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议．
【答案】（1）32，见解析
（2）见解析 （3）A套餐综评得分较低，建议：A套餐要更加关注营养搭配
【小问1详解】
解：A套餐3分占比，
A套餐4分人数（人），
补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分如下：
【小问2详解】
解：①A套餐价格满意度中位数为3分，小于B套餐价格满意度中位数4分，所以从中位数角度看，B套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的；
②A套餐价格满意度众数为3分，小于B套餐价格满意度众数4分，所以从众数角度看，B套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的；
③A套餐价格满意度平均数为3.48分，等于B套餐价格满意度平均数3.48分，所以从平均数角度看，A，B套餐价格满意度一样，所以小颖的观点是片面的；
④给A套餐打5分，4分，3分的人共有人，给B套餐打5分，4分，3分的人共有人，，即B套餐价格满意度达到“基本满意”及以上的人数多于A套餐，所以B套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的．
【小问3详解】
解：A套餐得分（分），
B套餐得分（分），
因为，
所以，A套餐综评得分较低．
建议：答案不唯一，例如：A套餐要更加关注营养搭配．
19. 截至2025年3月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还解决了旺季人手短缺的问题．某邮政快递运营区现有100名揽投员，为驿站提供快递配送服务．现计划在该运营区试点投放10辆无人车，和揽投员组成“工作搭子”．已知该运营区旺季期间日均投递总量不低于30000件，每位揽投员日均投递量是每辆无人车日均投递量的，则旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为多少件？
【答案】旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为375件
解：设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件，
根据题意，得：，
解得．
∵为整数，且取最小值，
∴．
答：旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为375件．
20. 守护鸟巢，护佑生命之家，共创和谐生态．在爱鸟护鸟活动中，爱心小组计划为喜鹊搭建鸟巢．为了解喜鹊巢穴自身的高度，同学们到森林公园进行实地测量，方法如下：如图，在距离大树底部A点3米的点B处，利用测角仪测得鸟巢底部点D的仰角，在点F处测得鸟巢顶部点H的仰角，点B，F之间的距离为4米，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，A，B，F三点在同一条水平直线上，A，D，H三点在同一条铅垂直线上．请根据以上信息，求鸟巢高度的长（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，）．

【答案】鸟巢高度的长约为0.3米
解：延长交于点M，
根据题意得，，四边形、四边形均为矩形．
∴，，
在中，，，
∴，
∴（米），
在中，，，
∴，
∴（米），
∴（米）．
答：鸟巢高度的长约为0.3米．
21. 阅读与思考
下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
构造等面积正方形
如图1，在矩形中，，，延长至点E使得，以为直径作半圆，圆心为点O，延长交半圆于点H，以为边作正方形（点F在线段上），则正方形面积等于矩形的面积．
证明：连接，∵，，∴．
∵，∴．
∵点是半圆的圆心，∴．
∴
任务：
（1）推理论证：请补全材料中的证明过程；
（2）类比应用：如图2，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点E在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）深入思考：如图3，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【小问1详解】
解：连接，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵点是半圆的圆心，
∴．
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心、长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求．
证明：如图，连接，
设，则，
∴，
∵点是半圆的圆心，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴在中，，
∴以为边的正方形的面积为，
∵在中，，是边上的高，，
∴，
∴的面积为，
∴以为边的正方形与的面积相等，
∴线段即为所求．
【小问3详解】
解：如图，连接，
由（1）已得：，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
又∵，
∴或（不符合题意，舍去），
∵，
∴，
故答案为：．
22. 综合与实践
问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题的综合实践活动中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．
成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果：
小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间（其他因素忽略不计）．
小明：停车距离反应距离制动距离，即．
小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据：
小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点．
问题解决：
（1）根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与v的函数关系式为______；
（2）求停车距离与行驶速度之间的函数关系式；
（3）某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由．
【答案】（1）一次；
（2）
（3）小王没有超速，见解析
【小问1详解】
解：根据表格信息，反应距离随行驶速度的增大而增大，
∴反应距离是行驶速度的一次函数，
设反应距离与行驶速度的函数关系式为：，把代入得，
∴，
解得，，
∴反应距离与行驶速度的函数关系式为：，
故答案为：一次；；
【小问2详解】
解：设与的函数关系式为，
∵图象经过点，
∴，
解得，，
∴与v的函数关系式为，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：没有超速，理由如下：
当时，，
∵，
，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴停车距离为时的车速小于，
∴小王没有超速．
23. 综合与探究
问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点的对应点为，，）．
①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由；
②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长．
【答案】（1）平行四边形是菱形
（2）①，理由见详解；②线段的长为或
解：（1）四边形是菱形，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）①，理由如下，
∵沿射线平移，得到（点的对应点为，，），
∴
∴，即，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，点在线段上时，，是直角三角形，
∵，
∴，
设，，
∴，
根据平移折叠，及（1）证明可得，，，
∴是等腰三角形，，
由（1）可知，，，
∴，即点是中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴；
如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点，
同理，，
∴，设，
∴，，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，线段的长为或．
施肥方案
甲
乙
丙
丁
单穗粒数的平均数
42.02
36.34
36.58
42.02
单穗粒数的方差
114.77
65.81
170.32
66.38
种类
得分平均数
口味
营养
价格
A套餐
3.8分
3.9分
3.48分
B套餐
3.4分
4.6分
3.48分
40
50
60
70
80
8
10
12
14
16