（通用）2026高考数学重难点讲练－不等式的解法+巩固练习（附解析）

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不等式的解法
一次、分式、高次、指对等不等式
函数不等式解法
一元二次不等式解法
【考点梳理】
要点一、一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c0（其中x1, x2, ……,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N).
要点诠释：
作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.
要点三、无理不等式的解法
无理不等式:如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)>0或f(x)
(2)>g(x) 或
或
(3) 0,a≠1).当00.令ax=t(t>0)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合.
(3)lgaf(x)>lgag(x) (a>0, a≠1).
当00，先求t的取值范围，再确定x的集合.
【典型例题】
类型一：一元二次不等式
例1. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
举一反三：
【变式1】已知的解为,试求、,并解不等式.
【解析】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【变式2】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【解析】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
例2．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
【解析】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。
(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即， ∴ 1y2的x的取值范围.
在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图4）.
设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0.
解之，得x0=5或x0=1（舍）.所以原不等式解集为[5，+∞）.
【总结升华】解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变为二次不等式，但最终还要解x的方程.解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整.
举一反三：
【变式】解不等式
【解析】或
 x>1或x=1或x=-2.
所以原不等式的解集是[1,+∞{-2}.
类型四：指对不等式
例5若,均有(且)则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
当时,函数的图像如下图所示:
对任意的,总有恒成立
若不等式恒成立,则的图像恒在的图象的上方
的图象与的图象交于点时,此时
故所求的的图象对应的底数应满足故选A.
举一反三：
【变式】如图,函数的图象为折线ACB,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知的图象,在此坐标系内做出的图象,如图
满足不等式的范围是所以不等式的解集是故选C.
例6．解不等式
【解析】原不等式可化为：

所以 所以 所以 1