广东省东莞市某校2025届高三下全真模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省东莞市某校2025届高三下全真模拟考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A=｛x||x-1|≤1},B={x|x2-x-2b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=π3，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=3r时，椭圆的离心率为 ．
【答案】35
【解析】由题意得F1F2=2c，
由正弦定理得2R=F1F2sin∠F1PF2=2c32=4c3，故R=2c3，
由椭圆定义可知，PF1+PF2=2a，
故S△PF1F2=12PF1+PF2+F1F2r=a+cr，
又S△PF1F2=12PF1⋅PF2sin∠F1PF2=34PF1⋅PF2，
由余弦定理得
cs∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1⋅PF2=PF1+PF22-2PF1⋅PF2-F1F222PF1⋅PF2，
即4a2-2PF1⋅PF2-4c22PF1⋅PF2=12，解得PF1⋅PF2=4a2-4c23，
故a+cr=34×4a2-4c23=3a2-c23，
解得r=3a-c3，
因为R=3r，所以2c3=3×3a-c3，解得ca=35.
故答案为：35
四、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为3，且满足43sinBcsC=2a-c．
（1）求角B．
（2）若AC边上的中线长为52，求△ABC的面积和周长．
解：（1）由外接圆半径为3得b=23sinB，
由43sinBcsC=2a-c，得2bcsC=2a-c，
利用正弦定理得：2sinBcsC=2sinA-sinC，即2sinBcsC=2sin(B+C)-sinC，
化简得sinC=2sinCcsB，
由C为△ABC的内角，得sinC≠0，可得csB=12，
又B为△ABC的内角，所以B=π3．
（2）由正弦定理得：bsinB=23⇒b=3，
设D为AC边上的中点，则AD=32,BD=52，
在△BCD中，cs∠BDC=254+94-a22×52×32，
在△ABD中，cs∠ADB=254+94-c22×52×32，
因为∠ADB+∠BDC=π，所以cs∠ADB+cs∠BDC=0，可得a2+c2=17，
由余弦定理b2=c2+a2-2accsB，即9=c2+a2-ac，ac=8，
由三角形面积公式得：S△ABC=12acsinB=23，
由9=c2+a2-ac，得(a+c)2-3ac=9，得a+c=33，所以周长为3+33．
16．已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
解：（1）．
由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．
函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x0)=0得=，，
故．
综上，当m≤2时， f(x)>0．
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为线段PD的动点.
（1）若直线PB//平面ACM，求证：M为PD的中点：
（2）求证：平面ABM⊥平面PAD
（3）若平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为33，求PMMD的值.
（1）证明：如图所示，连接BD，交AC于点O，连接MO，
因为直线PB//平面ACM，且平面PBD∩平面ACM=MO，PB⊂平面PBD，
所以PB//MO，
又因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，所以M为PD的中点.
（2）证明：因为四边形ABCD为正方形，可得AB⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，
因为AD∩PA=A，且AD,PA⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又因为AB⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面PAD.
（3）解：因为四边形ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，所以AB,AD,AP两两垂直，
以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设AB=1，可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，
则AC=(1,1,0),AP=(0,0,1),PD=(0,1,-1)，
设PM=λPD=(0,λ,-λ)(0≤λ≤1)，则AM=AP+PM=AP+λPD=(0,λ,1-λ)，
设平面MAC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AC=x+y=0n⋅AM=λy+(1-λ)z=0，
令y=1-λ，可得x=λ-1,z=-λ，所以n=(λ-1,1-λ,-λ)，
连接BD，由四边形ABCD为正方形，可得BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，
又因为AC∩PA=A，且AC,PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
所以向量BD=(-1,1,0)为平面PAC的一个法向量，
则csBD,n=BD⋅nBDn=2(1-λ)2×3λ2-4λ+2=33，解得λ=23或λ=2（舍），
所以PMMD=2.
18．给定椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3.
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．
（1）解：∵椭圆C的一个焦点为F2,0
其短轴上的一个端点到F的距离为3.
∴c=2,a=3，
∴b=a2-c2=1，
∴椭圆方程为x23+y2=1，
∴“准圆”方程为x2＋y2＝4.
（2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±3，
当l1：x＝3时，l1与“准圆”交于点(3，1)，(3，－1)，
此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；
同理可证当l1：x＝－3时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2斜率存在时，
设点P(x0，y0)，其中x02+y02=4.
设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为
y＝t(x－x0)＋y0，
∴由y=tx-x0+y0x23+y2=1
得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.
由Δ＝0化简整理，得(3－x02)t2＋2x0y0t＋1－y02＝0，
∵x02+y02=4，∴有(3－x02)t2＋2x0y0t＋(x02－3)＝0.
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，
∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程(3－x02)t2＋2x0y0t＋(x02－3)＝0，
∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．
综合①②知，l1⊥l2.
∵l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直．
∴线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，|MN|＝4，
∴线段MN的长为定值．
19．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计P(A)=920,P(B|A)=23,P(A|B)=35.
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？
（2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置m(m≥3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为13.
①求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；
②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn的最大值．
参考公式与数据：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
解：（1）根据已知条件得，报名人数为100×920=45，未报名参加答题活动的人数为55人，
报名参加答题活动的男生人数为45×23=30人，报名的女生为15人，
设男生人数合计为x人，则P(A|B)=n(AB)n(B)=30x=35⇒x=50
得2×2列联表如下：
假设H0:该校报名参加答题活动与性别没关联．
计算χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100（30×35-15×20）245×55×50×50=10011≈9.09.
比较临界值χ0.0052=7.879，因为9.09>7.879，所以拒绝假设（即H0不成立），
即该校学生报名参加答题活动与性别有关联．
（2）①由题意得P(ξ=k)=(23)k-1⋅13,1≤k≤m-1,P(ξ=m)=(23)m-1
∴E(ξ)=1⋅13⋅(23)0+2⋅13⋅23+3⋅13⋅(23)2+⋅⋅⋅+(m-1)13(23)m-2+m⋅(23)m-1
=13[1⋅1+2⋅23+3⋅(23)2+⋅⋅⋅+(m-1)(23)m-2]+m⋅(23)m-1①
∴23E(ξ)=13[1⋅23+2⋅(23)2+3⋅(23)3+⋅⋅⋅+(m-2)(23)m-2]+(m-1)13(23)m-1+m⋅(23)m②
①－②得：
13E(ξ)=13[1+23+(23)2+(23)3+⋅⋅⋅+(23)m-2]+m⋅(23)m-1-m-13(23)m-1-m⋅(23)m
=13⋅1-(23)m-11-23-2m+13(23)m-1-m⋅(23)m
=1-(23)m-1+13⋅(23)m-1=1-23⋅(23)m-1
E(ξ)=3-2⋅(23)m-1
②依题意甲同学每轮答题得的概率为23×23=49，
得2分的概率为13+23×13=59（或1-49=59）
甲同学答题得n分即得n-后下一轮得或得n-后下一轮得
Pn=49Pn-1+59Pn-2，∴Pn-Pn-1=-59(Pn-1-Pn-2)，
而P1=49，P2=49×49+59=6181
所以数列{Pn+1-Pn}是首项为P2-P1=6181-49=2581，公比为-59的等比数列．
∴Pn+1-Pn=2581×(-59)n-1，
∴Pn=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+⋅⋅⋅+(Pn-Pn-1)
=49+2581×[1+(-59)+(-59)2+⋅⋅⋅+(-59)n-2]
=49+2581×1-(-59)n-11+59
=49+25126[1-(-59)n-1]
显然当n-1为奇数时，Pn有最大值；此时Pn=49+25126[1+(59)n-1]是递减涵数，
故Pn的最大值为P2=6181．性别
男生
女生
合计
报名参加答题活动
未报名参加答题活动
合计
100
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
男生
女生
合计
报名参加答题活动
30
15
45
未报名参加答题活动
20
35
55
合计
50
50
100