广东省深圳市福田某校2025届高三五模数学数学试卷（解析版）

这是一份广东省深圳市福田某校2025届高三五模数学数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若z=5+i，则iz+z=（ ）
A．10iB．2iC．10D．2
【答案】A
【解析】由z=5+i⇒z=5-i,z+z=10，则iz+z=10i.
故选：A
2．设全集U=Z,集合M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈Z}，∁U(M∪N)=（ ）
A．{x|x=3k,k∈Z}B．{x∣x=3k-1,k∈Z}
C．{x∣x=3k-2,k∈Z}D．∅
【答案】A
【解析】因为整数集Z=x|x=3k,k∈Z∪x|x=3k+1,k∈Z∪x|x=3k+2,k∈Z，U=Z，所以，∁UM∪N=x|x=3k,k∈Z．
故选：A．
3．已知向量a与b的夹角为120°，a=3，a+b=13，则b等于（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】因为向量a与b的夹角为120°，a=3，a+b=13，
所以，a+b2=a2+2a⋅b+b2=a2+2a⋅bcs120∘+b2=13，即9-3b+b2=13，
整理可得b2-3b-4=0，解得b=4（负值已舍去）.
故选：C.
4．下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f(x)=-lnxB．f(x)=12x
C．f(x)=-1xD．f(x)=3|x-1|
【答案】C
【解析】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=-x在0,+∞上单调递减，
所以fx=-lnx在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=1x在0,+∞上单调递减，
所以fx=12x在0,+∞上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=-x在0,+∞上单调递减，
所以fx=-1x在0,+∞上单调递增，故C正确；
对于D，因为f12=312-1=312=3，f1=31-1=30=1,f2=32-1=3，
显然fx=3x-1在0,+∞上不单调，D错误.
故选：C.
5．函数y=sin4x+cs4x的最小正周期为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】B
【解析】y=sin4x+cs4x=sin2x+cs2x2-2sin2xcs2x
=1-122sinxcsx2
=-12sin22x+1
=-12⋅1-cs4x2+1
=14cs4x+34，
因为函数的最小正周期T=2π4=π2.
故选：B.
6．若2x-14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则-a3+a2-a1=（ ）
A．64B．-64C．16D．-16
【答案】A
【解析】因为2x-14展开式的通项为Tr+1=C4r(2x)4-r(-1)r=(-1)r×24-r×C4rx4-r，
所以-a3+a2-a1=-C43×23×-1+C42×22×-12-C41×21×-13=32+24+8=64.
故选：A.
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）
A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF//平面A1ACD．平面B1EF//平面A1C1D
【答案】A
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，
因为E,F分别为AB,BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD1=D，
所以EF⊥平面BDD1，
又EF⊂平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，
则B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,A2,0,0,C0,2,0，
C10,2,2，
则EF=-1,1,0,EB1=0,1,2，DB=2,2,0,DA1=2,0,2，
AA1=0,0,2,AC=-2,2,0,A1C1=-2,2,0,
设平面B1EF的法向量为m=x1,y1,z1，
则有m⋅EF=-x1+y1=0m⋅EB1=y1+2z1=0，可取m=2,2,-1，
同理可得平面A1BD的法向量为n1=1,-1,-1，
平面A1AC的法向量为n2=1,1,0，
平面A1C1D的法向量为n3=1,1,-1，
则m⋅n1=2-2+1=1≠0，
所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；
因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
对于选项B，如图所示，设A1B∩B1E=M，EF∩BD=N，则MN为平面B1EF与平面A1BD的交线，
在△BMN内，作BP⊥MN于点P，在△EMN内，作GP⊥MN，交EN于点G，连结BG，
则∠BPG或其补角为平面B1EF与平面A1BD所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2，PG2+PN2=GN2，
底面正方形ABCD中，E,F为中点，则EF⊥BD，
由勾股定理可得NB2+NG2=BG2，
从而有：NB2+NG2=PB2+PN2+PG2+PN2=BG2，
据此可得PB2+PG2≠BG2，即∠BPG≠90∘，
据此可得平面B1EF⊥平面A1BD不成立，选项B错误；
对于选项C，取A1B1的中点H，则AH∥B1E，
由于AH与平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，选项C错误；
对于选项D，取AD的中点M，很明显四边形A1B1FM为平行四边形，则A1M∥B1F，
由于A1M与平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，选项D错误；
故选：A.
8．fx是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'x+fx≤0．对任意正数a，b，若ag(b)，
即afa>bfb≥0①，1a2>1b2>0②
①②两式相乘得：
所以faa>fbb⇒bfa>afb，
2∘若g(x)在(0,+∞)上为常函数，且f(x)=0，则g(a)=g(b)=0，
即afa=bfb=0③，1a2>1b2>0④，
③④两式相乘得：
所以faa=fbb⇒bfa=afb，
综上所述，bfa≥afb
故选：A
二、多选题
9．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,⋅⋅⋅,n),c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi=xi+c，显然不相同，错误；
C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x)，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax-xmin，则第二组的极差为ymax-ymin=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin，故极差相同，正确；
故选：CD
10．若函数fx=alnx+bx+cx2a≠0既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．bc>0B．ab>0C．b2+8ac>0D．ac0x1+x2=ba>0x1x2=-2ca>0，即有b2+8ac>0，ab>0，ac0,f(x)单调递增，故当x=lna时，f(x)取最小值f(lna)=a-alna.
于是对一切x∈R，f(x) ≥1恒成立，当且仅当a-alna≥1. ①
令g(t)=t-tlnt,则g'(t)=-lnt.
当00,F(t)单调递增.故当t=0，F(t)>F(0)=0,即et-t-1>0.
从而ex2-x1-(x2-x1)-1>0，ex1-x2-(x1-x2)-1>0,又ex1x2-x1>0, ex2x2-x1>0,
所以φ(x1)0.因为函数y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1,x2)使φ(x0)=0,即f'(x0)=k成立.
18．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为13|OF1|．
（Ⅰ）证明a=2b；
（Ⅱ）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
（Ⅰ）证法一：由题设AF2⊥F1F2及F1(-c，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中y>0．由于点A在椭圆上，有c2a2+y2b2=1，即a2-b2a2+y2b2=1．
解得y=b2a，从而得到A(c，b2a)．
直线AF1的方程为y=b22ac(x+c)，整理得b2x-2acy+b2c=0．
由题设，原点O到直线AF1的距离为13|OF1|，即c3=b2cb4+4a2c2，
将c2=a2-b2代入上式并化简得a2=2b2，即a=2b．
证法二：同证法一，得到点A的坐标为(c，b2a)．
过点O作OB⊥AF1，垂足为B，易知△F1BO ∽ △F1F2A，故|BO||OF1|=|F2A||F1A|．
由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a，又|BO|=13|OF1|，
所以13=|F2A||F1A|=|F2A|2a-|F2A|，
解得|F2A|=a2，而|F2A|=b2a，得b2a=a2，即a=2b．
（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x0,y0)．
当y0≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为-x0y0，所以直线Q1Q2的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0，或y=kx+m，其中k=-x0y0，m=y0+x02y0．
点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组{y=kx+m，x2+2y2=2b2．
将①式代入②式，得x2+2(kx+m)2=2b2，
整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2b2=0，
于是x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-2b1+2k2．
由①式得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+k2
=k2·2m2-2b21+2k2+km·-4km1+2k+m2=m2-2b2k21+2k2．
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0.将③式和④式代入得3m2-2b2-2b2k21+2k2=0，
3m2=2b2(1+k2)．
将k=-x0y0，m=y0+x02y0代入上式，整理得x02+y02=23b2．
当y0=0时，直线Q1Q2的方程为y0=0，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组{x=x0，x2+2y2=2b2．
所以x1=x2=x0，y1，2=±2b2-x022．
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，即x02-2b2-x022=0，
解得x02=23b2．
这时，点D的坐标仍满足x02+y02=23b2．
综上，点D的轨迹方程为 x02+y02=23b2．
解法二：设点D的坐标为(x0,y0)，直线OD的方程为y0x-x0y=0，由OD⊥Q1Q2，垂足为D，可知直线Q1Q2的方程为x0x+y0y=x02+y02．
记OD⊥Q1Q2（显然m≠0），点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组{x0x+y0y=m，①x2+2y2=2b2．②
由①式得y0y=m-x0x． ③
由②式得y02x2+2y02y2=2y02b2． ④
将③式代入④式得y02x2+2(m-x0x)2=2y02b2．
整理得(2x02+y02)x2-4mx0x+2m2-2b2y02=0，
于是x1x2=2m2-2b2y022x02+y02． ⑤
由①式得y0y=m-x0x． ⑥
由②式得x02x2+2x02y2=2x02b2． ⑦
将⑥式代入⑦式得y02x2+2(m-x0x)2=2y02b2，
整理得(2x02+y02)y2-2my0y+m2-2b2x02=0，
于是y1y2=m2-2b2x022x02+y02． ⑧
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0．将⑤式和⑧式代入得2m2-2b2y022x02+y02+m2-2b2x022x02+y02=0，
3m2-2b2(x02+y02)=0．
将OD⊥Q1Q2代入上式，得x02+y02=23b2．
所以，点D的轨迹方程为x02+y02=23b2．
19．在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，P，Q分别是AB，AC的中点．

（1）求证：四边形B1PQC1是矩形；
（2）若A1B1=A1A，求直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值；
（3）若一只电子猫从点A出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在nn∈N*次运动后电子猫仍停留在下底面ABC的概率为pn，求pn.
（1）证明：延长AA1，BB1，CC1交于点T，过点T作TO⊥平面ABC，垂足为O，连结OA.
在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，△ABC是正三角形，
因为P，Q分别是AB，AC的中点，
所以BC∥PQ，且BC=2PQ，
又BC∥B1C1，且BC=2B1C1，
所以B1C1∥PQ，且B1C1=PQ，四边形B1PQC1是平行四边形.
因为几何体ABC-A1B1C1是正三棱台，
所以三棱锥T-ABC是正三棱锥，O是底面正△ABC的中心，所以AO⊥BC.
又TO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以TO⊥BC.
因为AO∩TO=O，AO，TO⊂平面AOT，所以BC⊥平面AOT，
又AA1⊂平面AOT，所以BC⊥AA1，所以PQ⊥AA1.
在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，P是AB的中点，
所以A1B1∥AP，且A1B1=AP，
所以四边形A1B1PA是平行四边形，A1A//B1P.
所以PQ⊥B1P.
所以四边形B1PQC1是矩形.
（2）解：法一：延长AO交BC于点M，连结TM，过点A作AH⊥TM，垂足为H，连结CH.
由（1）可知，BC⊥平面AOT，即BC⊥平面AMT，
因为AH⊂平面AMT，所以AH⊥BC，
又AH⊥TM，BC∩TM=M，BC，TM⊂平面TBC，
所以AH⊥平面TBC.
所以∠ACH为直线AC与平面BCC1B1所成角.
在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，A1B1=A1A，不妨设A1A=1，
则TA=2，AM=TM=3，AO=23AM=233.
在等腰△MTA中，AH=TO=TA2-AO2=22-2332=236.
在Rt△AHC中，sin∠ACH=AHAC=2362=63.
所以直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值为63.
法二：
过O作Oy∥BC.
以O为坐标原点，OA，Oy，OT所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，A1B1=A1A，不妨设A1A=1，
则A233,0,0，C-33,1,0，B-33,-1,0，CB=0,-2,0.
设上底面A1B1C1的中心为O1，在直角梯形AOO1A1中，AO=233，
A1O1=12AO=33，A1A=1，所以O1O=12-233-332=63.
故O10,0,63，又O1C1=12OC=-36,12,0，
所以C1-36,12,63,CC1=36,-12,63.
设m=x,y,z为平面BCC1B1的法向量，
即m⋅CB=-2y=0x,y,zm⋅CC1=36x-12y+63z=0，取z=-1，得y=0，x=22，
所以m=22,0,-1是平面BCC1B1的一个法向量.
又CA=3,-1,0，
所以csm,CA=m⋅CAmCA=22×3222+-1232+-12=63，
设直线AC与平面BCC1B1所成角为θ，
所以sinθ=csm,CA=63，
所以直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值为63.
（3）解：记电子猫在n次运动后“在下底面ABC”为事件Mn，“在上底面A1B1C1”为事件Mn.
显然，当n≥2，n∈N*时，PMn|Mn-1=23，PMn|Mn-1=13.
由全概率公式，当n≥2，n∈N*时，
可得PMn=PMn-1Mn+PMn-1Mn=PMn-1PMn|Mn-1+PMn-1PMn|Mn-1，
即pn=pn-1×23+1-pn×13，整理得pn=13pn-1+13.
所以当n≥2，n∈N*时，pn-12=13pn-1-12，
又p1=23，p1-12=16≠0，pn-12≠0，
所以当n≥2，n∈N*时，pn-12pn-1-12=13为定值，
所以数列pn-12是首项为16，公比为13的等比数列，
故pn-12=16×13n-1，
可得pn=12+12×13n.