四川省雅安市2024_2025学年高三数学上学期11月“零诊“考试试卷含解析

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2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据集合求出解集，再根据交集的概念及运算即可求出结果.
【详解】根据可得，
又，
则，
故选：B.
2. 若i是虚数单位，复数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将的分子分母都乘以分母的共轭复数，即可化简出．
【详解】，
故选B．
【点睛】本题考查复数的除法运算，关键是将其分子分母都乘以分母的共轭复数．
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定判断即得.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C
4. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除AC，再结合时，即可排除D，进而得到答案.
【详解】由题意，，，
则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故AC不满足；
当时，，，则，
故D不满足，B符合题意.
故选：B.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】应用充分条件必要条件的定义去判断，对不充分条件或不必要条件可举例说明.
【详解】因为，所以，
所以“”可推出“”，即“”是“”的必要条件；
取，可知，而，即，
所以“”不能推出“”.
所以“”是“”的不充分条件.
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知单位向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，与，再应用夹角余弦公式求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故选：A.
7. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.
【详解】因为，
又，即，则，
所以，
故.
故选：D
8. 下列不等式成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可判断出结果.
【详解】对于A，因为底数，所以随着指数的增大而减小，又，所以，故选项A错误；
对于B，，因为底数，所以随着真数位置的增大而增大，又，所以，故选项B错误；
对于C，因，，所以，故选项C正确；
对于D，因为，，函数有两个交点，分别是当，
增长速度比增长速度快，在0,2上，在上，
在上，所以，即，故选项D错误.
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 将的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正切函数的图象的性质逐项计算可判断每个选项的正误.
【详解】由，可得函数的最小正周期为，故A错误；
由，可得，
所以的图象关于点对称，
当时，可得对称中心为，故B正确；
将的图象向左平移个单位得到的图象，故C错误；
，
又在上单调递增，，
所以，即f4π5>f7π10，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A. 为周期函数
B. 的图象关于点对称
C. ，，成等差数列
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义推理确定函数的性质，再逐项分析判断即可.
【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得，则，
由为奇函数，得，则，
于是，即，
对于A，，是周期为4的周期函数，A正确；
对于B，由，得的图象关于点对称，B错误；
对于C，，由，得，
因此，，成等差数列，C正确；
对于D，，因此
，D正确.
故选：ACD
11. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是单调递增数列B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】应用与的关系，将中的消掉，求出判断符号即可判断A项的正误；判断数列是等差数列，进而求出，再利用作差法判断B项的正误；应用放缩法与裂项相消求出，再与比较即可；构造函数，并利用导数研究函数的最小值，再取即可判断D项的正误.
【详解】因为，所以当时，，
两式相减，可得，
所以，
所以，
所以an是单调递减数列，故A错误；
当时，，所以；
当时，，化简整理得，
所以数列是等差数列，其首项为4，公差为4，
所以，
所以
，
所以，故B正确；
因为，
所以
所以，故C正确；
设函数，则，
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
取，,所以，即
又因为，所以.故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值.
【详解】∵，，∴，
由得，解得，解得.
故答案为：.
13. 记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据等式得到公差，再根据前n项和公式得到最小值.
【详解】设等差数列的公差为，
根据，可得，解得，
则，
因为，所以当或时，有最小值为，
故答案为：.
14. 定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据曲率定义得到曲率K，再应用导数求解曲率K的最大值即可.
【详解】解：因为，所以，，
所以曲线（其中）的曲率
，
所以
，
由，可得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若的外接圆半径为4，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据正弦定理将等式化简约分，可求得，即可求得结果；
（2）结合第（1）问及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化简得，求出三角形面积即可.
【小问1详解】
根据正弦定理的变形公式可得，
因为，所以，即，
因为，所以，则，即；
【小问2详解】
因为，所以，
则，即，
又，所以，
因为的外接圆半径为，
所以由正弦定理可得，
所以，
所以.
16. 已知数列的前n项和为，且，其中．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，证明：．
【答案】（1），
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得，然后根据和的关系，可得，注意的情况即可.
（2）利用裂项相消可求，然后利用，即可证明.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
又，两式相减得：
，
所以，
此时，
将代入得，
因此对也成立，
故的通项公式为，
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，又，
所以，
所以
，
因为，所以，
即.
17. 已知函数，其中，
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，过点可以作3条直线与曲线相切，求m的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数直接求解单调区间即可；
（2）设切点为，利用导数的几何意义可得，设，结合题意可将问题转化为函数与y=gx的图象有三个交点，进而结合导数分析y=gx的单调性，再结合图象求解即可.
【小问1详解】
由，，
则，
令f'x>0，得；令f'x0，
画出函数与y=gx大致图象，
要使函数与y=gx的图象有三个交点，则，
即m的取值范围为．
18. 已知数列满足，（，且）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和；
（3）令，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用构造法，结合等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求即得.
（3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性质，结合等比数列求和公式推理得证.
【小问1详解】
数列中，当时，，则，
而，又，解得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，，即，，
则，
令，
则，
两式相减得，
则，所以.
【小问3详解】
由（2）知，，，显然，
则；又，
于是，
所以.
【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
19. 已知函数．
（1）若有2个相异极值点，求a的取值范围；
（2）若，求a的值；
（3）设m为正整数，若，，求m的最小值．
【答案】（1）或；
（2）；
（3）3.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由有两个不等的正实根，结合一元二次方程根的分布求出范围.
（2）构造函数，按分类讨论恒成立情况即可得解.
（3）由（2）的结论可得，再赋值并结合等比数列前n项和公式及对数运算求出范围即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
由有2个相异极值点，得方程有两个相异正实根，
于是，解得或，
所以a的取值范围是或.
【小问2详解】
令，求导得，
当时，函数在上单调递增，而，
，则，使得，
当时，，因此函数在上单调递增，而，
则当时，，即，不符合题意；
当时，而时，，不等式不恒成立，不符合题意；
当时，，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
即对任意正数，恒成立，即不等式恒成立，符合题意，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，对任意，不等式，当且仅当时取等号，
令，则，
则
，即，
因此，
当时，，
所以对，时，正整数的最小值为3.
【点睛】方法点睛：可导函数y=fx在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧f'x的符号不同．