四川省雅安市2023届高三数学（理）上学期10月零诊试卷（Word版附解析）
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数学（理工类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，．则（ ）
A. B.
C D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：
某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温
根据图表判断，以下结论正确的是（ ）
A. 8月每天最高气温的平均数低于35℃
B. 8月每天最高气温的中位数高于40℃
C. 8月前半月每天最高气温方差大于后半月最高气温的方差
D. 8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数在上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ）
A. 20 B. 40 C. 70 D. 112
7. 中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少．”意思是“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问中间二节容积各是多少？”按此规律，中间二节（自下而上第四节和第五节）容积之和为（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
10. 已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A为一个顶点，D，F，F分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 已知函数．给出以下几个结论：
①若对任意，均有，则的最小值为2；
②若对任意，均有，则的最小值为5；
③若在区间上的极小值点有且仅有2个，则．
其中，正确结论序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
12. 设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在的展开式中，的系数为，则______．
14. 给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数______．（写出一个满足条件的函数即可）
15. 已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为___________．
16. 如图所示的三棱锥中，为等腰直角三角形，且，侧棱，，则经过该三棱锥四个顶点的球的表面积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
| 良好及以下 | 优秀 | 合计 |
男 | 450 | 200 | 650 |
女 | 150 | 100 | 250 |
合计 | 600 | 300 | 900 |
（1）计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
其中，．
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边BC上，，且，求面积的最大值．
19. 如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角的大小为120°（如图②）．
（1）在PC上是否存在点H，使得直线平面PBE？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．
（2）求直线PC与平面PBE所成角的正弦值．
20. 给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．
（1）求的通项公式；
（2）令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21. 已知函数．
（1）当时，函数有三个零点，求m取值范围；
（2）若，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 数学中有许多美丽曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，
（1）求E的极坐标方程；
（2）已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知，，且，证明：
（1）；
（2）．
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