湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题（Word版附解析）

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命题人：蒋志华 审题人：孙密莲
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 ，则实数 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知一个球 表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ）
A. 3 B. 12 C. D.
3. 设函数 的定义域为 ，则“ ， ”是“函数 为增函数”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量 ， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A. B. C. 6 D. 12
6. 已知随机变量 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设 ，则 的值为（ ）
A. 20 B. －20 C. 160 D. －160
8. 如图，在正方体 中， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ，若
平面 ，则 （ ）
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A B. C. D.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列有关复数的说法中（其中 i 为虚数单位），正确的是（ ）
A.
B. 复数 的共轭复数的虚部为 4
C. 若复数 z 满足 ，则 的最大值为 2
D. 若 是关于 x 的方程 的一个根，则
10. 已知数列 的前 n 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列 为递减数列
B. 当且仅当 时， 取得最大值
C.
D. 是等比数列
11. 设函数 ，则（ ）
A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数
C. 在区间 上单调递增 D. 的图象关于点 中心对称
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 为奇函数，则 ______.
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13. 一个袋中装有大小质地相同的 9 个小球，其中白球 2 个，红球 3 个，黑球 4 个，现从中不放回地摸球，
每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________.
14. 设函数 ，若 且 ，则 取值范
围是__________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，角 的平分线交 于点 ，
且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的面积．
16. 随着网络 App 的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分 20～40
岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别 日均刷“抖音”时间超过 2 小时 日均刷“抖音”时间不超过 2 小时
男性 48 72
女性 24 56
（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过 2 小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取
3 名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为 ， ，每个人是
否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有 2 人顺利完成知识问答的条件下，这 2 人性别不同的概率.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2 706 3 841 6.635 7.879 10.828
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17. 如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， ，
， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， 分别为椭圆 的上，下顶点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 （异
于椭圆的右顶点），交 轴于点 ，直线 与直线 相交于点 .求证：直线 的斜率为定值.
19. 张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义，即
若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正数 ，使得 且 ，不等式
恒成立，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定
义，并且存在一个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称
在 上为 “广义差商有界”函数.
（1）已知 ，判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不
是，请讨论是否是“广义差商有界”函数?
（2）已知函数 .
（i）判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
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（ii）若 在区间 上是“广义差商有界”函数，求正整数 的最小值.
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