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    湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题(Word版附解析)
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    湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题(Word版附解析)

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    这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题(Word版附解析),共12页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    雅礼中学2023年上学期期末考试试卷
    高二数学
    时量:120分钟 分值:150分
    一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.设全集,集合满足,则( )
    A. B. C. D.
    2.已知复数满足,其中为虚数单位,则复数的虚部为( )
    A.1 B. C. D.
    3.下列函数中,最小值为2的是( )
    A. B. C. D.
    4.若,则的值为( )
    A.0 B. C.1 D.
    5.长、宽、高分别为2,,的长方体的外接球的表面积为( )
    A. B. C. D.
    6.如图,在梯形中,,,,若,则( )

    A.9 B.10 C.11 D.12
    7.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片,在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中,雅礼中学女篮队员们敢打敢拼,最终获得了冠军.在颁奖仪式上,女篮队员12人(其中1人为队长),教练组3人,站成一排照相,要求队长必须站中间,教练组三人要求相邻并站在边上,总共有多少种站法( )
    A. B. C. D.
    8.已知实数,记函数构成的集合
    .已知实数、,若,,则下列结论正确的是( )
    A. B.若,则
    C. D.
    二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
    9.已知变量,之间的经验回归方程为,且变量,之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法正确的是( )

    6
    8
    10
    12

    6

    3
    2
    A.变量,之间成负相关关系
    B.
    C.可以预测,当时,约为2.6
    D.由表格数据知,该经验回归直线必过点
    10.已知函数,实数,满足,则( )
    A. B.,,使得
    C. D.
    11.已知,分别为随机事件,的对立事件,,,则下列说法正确的是( )
    A. B.
    C.若,独立,则 D.若,互斥,则
    12.矩形中,为边的中点,将沿直线翻转成.若为线段的中点,则在翻转过程中,正确的命题是( )
    A.是定值
    B.点在圆上运动
    C.一定存在某个位置,使
    D.一定存在某个位置,使平面
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.曲线在点处的切线方程为__________.
    14.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为__________.
    15.已知甲、乙两支队伍中各有20人,甲队中有个男生与个女生,乙队伍中有个男生与个女生,若从甲、乙两队中各取1个人,表示所取的2个人中男生的个数,则当方差取到最大值时,的值为__________.
    16.已知,满足,,当时,.已知,则函数,的零点个数为__________,这些零点的和为__________.
    四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    17.(本小题满分10分)
    已知等差数列中,,且前10项和.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    18.(本小题满分12分)
    如图,在直三棱柱中,,,,依次为,的中点.

    (1)求证:;
    (2)求与平面所成角的正弦值.
    19.(本小题满分12分)
    一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为,,,,由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示.

    (1)求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数;
    (2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在内的小球个数为,求的分布列和均值.(以直方图中的频率作为概率)
    20.(本小题满分12分)
    (1)已知,,分别为三个内角,,的对边.请用向量方法证明等式;
    (2)若三个正数,,满足,证明:以,,为长度的三边可以构成三角形.
    21.(本小题满分12分)
    已知抛物线,点在抛物线上,直线交于,两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.
    (1)求点到抛物线焦点的距离;
    (2)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
    22.(本小题满分12分)
    已知函数.
    (1)证明;
    (2)关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.





    雅礼中学2023年上学期高二年级期末考试暨高三摸底考试
    数学参考答案
    一、二、选择题
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    答案
    A
    B
    C
    B
    B
    D
    B
    D
    ACD
    CD
    BCD
    ABD
    2.B【解析】由题意,化简得,则,所以复数的虚部为.
    3.C【解析】当时,,故A错误;
    ,当且仅当,即时取等号,
    又,故B错误;
    ,当且仅当,即时取等号,故C正确;
    当时,,,当且仅当,即时取等号,
    因为,故D错误.
    4.B【解析】.
    5.B【解析】该长方体对角线长为,外接球的半径为,
    ,.
    6.D【解析】法一:因为,所以,
    所以.因为,,,所以,
    化简得.故.
    法二:利用投影可以迅速求解
    法三:坐标法
    8.D【解析】因为,,设,
    则,,
    即有,
    所以,其他的选项都不对.
    9.ACD【解析】由得,所以,成负相关关系,故A正确;
    当时,的预测值为2.6,故C正确;
    ,故.故经验回归直线过,故D正确;
    因为,所以,,故B错误.
    10.CD【解析】画出函数的图象,如图所示.
    由图知,则,故A错,C对.
    由基本不等式可得,所以,则,故B错,D对.

    11.BCD【解析】选项A中:,故选项A错误,选项B正确;
    选项C中:,独立,则,则,故选项C正确;
    选项D中:,互斥,则,根据条件概率公式,故选项D正确,故选BCD.
    12.ABD【解析】取中点,连接,,则,,
    平面平面,平面,平面,D正确;
    ,定值,定值,
    根据余弦定理得,,所以是定值.A正确;
    点以为轴旋转,B正确;
    当矩形满足时存在,其他情况不存在,C不正确.所以ABD正确.
    三、填空题
    13.
    14.【解析】,,即,,
    双曲线方程为,渐近线方程为.
    15.10【解析】法一:的可能取值为0,1,2,
    则,,
    ,所以的分布列为

    0
    1
    2





    ,当且仅当时,等号成立,所以当取到最大值时,的值为10.
    法二:的可能取值为0,1,2,则,
    由对称性可知,由数学直观想象可知当取到最大值时,最大,
    所以的值为10.
    16.13 26(第一空2分,第二空3分)【解析】函数和的周期为4,都关于点中心对称,
    分别画出和的图象,可得答案.
    四、解答题
    17.【解析】(1)由已知得解得
    所以数列的通项公式为.
    (2),
    所以.
    18.【解析】(1)因为三棱柱为直三棱柱,所以平面,
    又平面,所以,
    又,,,平面,所以平面,
    又平面,则,
    又,,,平面,所以平面,
    又平面,则.
    (2)以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,,,,,
    所以,,.
    设平面的一个法向量为,由得
    令可得.
    设与平面所成角为,
    所以,
    即与平面成角的正弦值为.

    19.【解析】(1)由题意,得,解得.
    由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克,
    50个样本中小球质量的平均数为(克).
    故由样本估计总体,可估计盅子中小球质量的平均数为24.6克.
    (2)由题意知,该盒子中小球质量在内的概率为,则.
    的可能取值为0,1,2,3,
    则,



    的分布列为

    0
    1
    2
    3





    (或者).
    20.【解析】(1)因为,则,
    即.
    (2)因为,
    所以,即,
    则即
    所以,,为长度的三边可以构成三角形.
    21.【解析】(1)抛物线方程为,点到抛物线焦点的距离为.
    (2)法一:如图,设,.
    把代入得,,
    由根与系数的关系得,.
    ,点的坐标为.
    假设存在实数,使,则.
    又是的中点,.
    由(1)知.
    轴,,
    又.

    解得,即存在,使.

    法二:假设存在实数,使,
    如图,设,.把代入得,,
    由根与系数的关系得,.
    ,点的坐标为.

    代入,得,,
    解得,即存在,使.

    22.【解析】(1),
    由可得;由可得,
    所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,
    所以,即.
    (2)法一:由得,
    因为为增函数,则,则.
    令,,,
    在区间上单调递增,在区间上单调递减,最大值为,
    所以实数的取值范围为.
    法二:当时,,因为为减函数,且,所以,
    当时,,
    下证.
    今,求导可证在区间上单调递增,在区间上单调递减,
    又时,,时,,所以.
    令,求导可证在区间上单调遂增,在区间上单调递减,
    所以.综上,成立.
    所以实数的取值范围为.
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