广西部分学校2024-2025学年高一下学期四月阶段性检测数学试卷（解析版）

这是一份广西部分学校2024-2025学年高一下学期四月阶段性检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了 集合，则， 已知向量，若，则， “”是“”的， 若，则， 已知函数，若，则的最小值是， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由不等式，可得，所以，
又由不等式，可得，所以，所以.
故选：A.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】由向量，因为，可得，解得.
故选：B.
4. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以，所以“”是“”的充分条件；当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件；故“”是“”的充分不必要条件；
故选：B.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，解得，
又由.
故选：C.
6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，
且，
所以当时，的解集为，
因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得，
根据偶函数知：当时，可得，
故选：A.
7. 有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积，由题意知小球体积为，容器剩余的容积为，
由得，
故选：D.
8. 已知函数，若，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】因为，则，
则对称中心为，则，
可得，解得，
且，可知：，解得的最小值为，
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥
C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D. 用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
【答案】AC
【解析】对于A中，根据棱柱的定义，可得棱柱的侧面一定是平行四边形，所以A正确；
对于B中，底面是等边三角形，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥是正三棱锥，所以B不正确；
对于C中，根据棱台的定义，可得棱台的所有侧棱所在直线必交于同一点，所以C正确；
对于D中，用一个平行于底面的平面去截圆柱，截面一定是圆，若不平行于底面的平面截圆柱，得到得截面可能是椭圆面，所以D不正确.
故选：AC.
10. 已知，是复数，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A中，设复数，若，即，可得，即且，由，所以，所以A正确；
对于B中，若，此时，但复数和不能比较大小，所以B错误；
对于C中，如，可得，此时，所以C错误；
对于D中，若，可得，此时满足，
但且，所以D错误.
故选：BCD.
11. 在锐角中，角的对边分别是，已知，，且，则（ ）
A. 角的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 周长的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】因为，且，所以，所以，
所以.因为是锐角三角形，，所以，
则，则解得，所以，A正确.
因为，所以.
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，B正确.
.设，则在上单调递增，所以，即.
因为，所以周长的取值范围是，C错误.
因为，所以.因为在单调递增，所以，所以，即，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积是__________.
【答案】8
【解析】作出，如下图所示：
由题意可知，，，
故的面积为.
故答案为：8.
13. 一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米.
【答案】
【解析】依题意，如图，在中，
从地出发，沿东偏南的方向到达地，再沿北偏东的方向到达地，
，则千米，千米，
由余弦定理得，因此千米,
所以两点间的距离是千米．
故答案为：
14. 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是_______（参考数据：，）
【答案】5
【解析】由题意可得，则，所以，
所以，所以．
因为，所以的最小值为5．
故答案为：5.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
解：（1）由复数，
因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），
所以实数的值为.
（2）由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
解：（1）设是的中点，连接.
因为是边长为6的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积.
（2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，所以.
又正方体的体积为，
所以该几何体的体积.
17. 已知函数的图象经过三点，且的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域；
（3）求不等式的解集.
解：（1）由题意的图象经过三点，且的最小值为，
可得的最小正周期，则，解得.
则，
由，
故，，
又因为，所以.
故.
（2）由于，所以，
故，．
所以函数的值域为．
（3）不等式等价于不等式，即不等式.令，
解得，
故不等式的解集为.
18. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
（1）已知，，，．
①用向量，表示向量，；
②求的值．
（2）若，求的值．
解：（1）因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因为，，，所以，
所以.
（2）设，则，所以，又，
所以，由（1）知，所以，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又，所以，解得，所以.
19. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地.
（1）已知.
①求道路的长度；
②求的面积.
（2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值.
解：（1）①由正弦定理可得，
则千米.
②因为，，所以，
所以
则的面积平方千米.
（2）设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米.
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元.
因为，所以，所以，
所以，所以，
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元.