江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024~2025 学年度第二学期期末抽测
高一数学试题参考答案与评分标准
一、选择题：
1．A2．B3．C4．D5．B6．C7．C8．D
二、选择题：
9．AD10. ABD11. ACD
三、填空题：
2
12. 813. 5 或314. 4
3
四、解答题：
15. （1）由频率分布直方图可得市民年龄在[25, 45) 内的频率为0.0310  0.0410  0.7 ，3 分
由题得，随机选取了 200 名市民，所以市民年龄在[25, 45) 内的人数为0.7 200 140 .
所以选取的市民年龄在[25, 45) 内的人数为140 人.5 分
由频率分布直方图，可估计 200 名市民的年龄的平均数为
(0.01 20  0.03 30  0.04  40  0.02 50) 10  37 .
所以这 200 名市民的年龄的平均数为37 岁9 分
由频率分布直方图，可知前两组频率之和为0.0110  0.0310  0.4 ，
前三组频率之和为0.0110  0.0310  0.0410  0.8 ，11 分
所以 70 百分位数应在[35, 45) 中，设为 x， 可得0.4  (x  35)  0.04  0.7 ，解得 x  42.5.
所以这 200 名市民的年龄数据的70 %分位数为42.5 .13 分
16.（1）当 x   时， z  1  i ， z  1  1 i ，2 分
31222
所以 z z  ( 1  i)(1  1 i)  1  3 i ，4 分
1 2224
z  2z
  3  2i ，则| z
2z
|
 56 分
122122
( 3)2  22
2
（2）由已知得 A(cs x,1), B(1,1 3 sin x) ，8 分
因为OA  OB ，所以OA  OB  cs x 11 (1 3 sin x)  0 ，10 分
所以 3 sin x  1 cs x  1 ，即sin(x  )  1 ，13 分
22262
2x 

因为 x (0,) ，所以  ( , ) ，所以 x   ，即 x  .15 分
366 2
663
a2  c2  b2
b2  c2  a2
（1）在△ABC 中，由余弦定理可得a cs B  bcs A  a
b
2ac
2bc
 c .……2 分
所以2csC a cs B  b cs A  c 即2ccsC  c ，所以cs C  1 .4 分
2
又因为C (0, ) ，所以C   .6 分
3
7
（2）因为a  2 ，b  3 ，由余弦定理得c2  a2  b2  2ab cs C  4  9  2  2  3 1  7 ，即c ，……8 分
2
2  2 7
2 7
2  3 7
7
所以cs B  4  7  9 1 ， cs A  9  7  4  2 ，10 分
连接 DE，DF，则CE  DE ，设为 x ， CF  DF ，设为 y ，
在△BDE 中，由余弦定理得 x2  (2  x)2  7  2  (2  x) 
4
在△ADF 中，由余弦定理得 y2  (3  y)2  7  2  (3  y) 
7 
2 7
2
7 
1
2
，解得 x  19 ，12 分
14
7
，解得 y  19 ，14 分
4216
所以 1  1  14  16  30 .15 分
CECF191919
3
3

（1）因为a (cs  ,sin )  (, 1) ， a (cs  ,sin )  (

, 1) ，2 分
1, 666225, 6
6622
3
3
11
所以a   a   (, )  (, )  (0,1) .3 分
1,5,
66
2222
因为a1,x  (cs x,sin x) 与b  (1, 2) 共线，所以2cs x sin x  0 ，5 分
因为 x (0, ) ，所以sin x  0 ，即cs x  0 ，所以tan x  sin x  2cs x  2 ，7 分
cs xcs x
所以tan 2x 
2 tan x
1  tan2 x
 2  2   49 分
(cs nx  cs x)2  (sin nx  sin x)2
2  2cs(n 1)x
1  43
因为| a
2  2cs(n 1) 
4
n,x
a1, x
|

，11 分
| an, 
a 
1,
|
，12 分
44
要证| a a|≤| a a|，只要证cs(n 1)x ≥ cs(n 1)  .
n, x
1, xn, 
1, 4
44
方法 1：①当 x   时， cs (n 1) ≥ cs(n 1)  对n  N* 成立，13 分
444
x 
②当(0, )( , ) 时，取n  2 ， cs x ≥ cs ，解得0  x  ，15 分
4444
取 n  9 ， cs8x≥cs 2 1 ，所以8x  4,6，即 x   , 3 ，
2 4
 3
x 
又因为 ,(0, ) ，所以不存在(0, )( , ) 使原不等式成立.
2 4444
综上所述，当且仅当 x   时，| a a|≤| a a| .17 分
4n, x
1, xn, 
1, 
44
方法 2：令k  n 1, k N ，则cs kx ≥ cs k ，
4
①当 x   时， cs k   ≥cs k 成立，13 分
444
②当0  x   时，取k  8 ， 0  kx  2， 1 cs kx 1，而cs k  cs 2  1 ，
44
所以cs kx  cs k ，14 分
4
③当   x ≤  时，取k  2 ，   kx   ， cs kx  0，而cs k  cs   0 ，
42242
所以cs kx  cs k ，15 分
4
④当   x   时，取k 1，   kx   ， cs kx  0，而cs k  cs  2 ，所以cs kx  cs k .
224424
综上所述，当且仅当 x   时，| a a|≤| a a|17 分
4n, x
1, xn, 
1, 
44
（1）证明：因为底面 ABCD 为菱形，所以 AD // BC ，1 分
又因为 AD  平面 PBC ， BC  平面 PBC ，所以 AD // 平面 PBC .3 分
取 AB 中点 E ，连接 PE, DE ，因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，且ABC 120 ，所以 DA  DB  DC  2 ，4 分
DE  AB ， DE 
3 . 又因为 PA  PB ，所以 PE  1 AB  1，
2
因为平面 PAB  平面 A B C ， DE  AB ， 平面 PAB平面
A B C DA， DE  平面 ABCD ，所以 DE  平面 PAB ，……6 分
DE2  PE2
3  1
又因为 PE  平面 PAB ，所以 DE  PE ，即△PDE 为直角三角形，
所以 DP 

 2 ，所以 DA  DB  DC  DP ，
即点 P, A, B,C 在以 D 为球心的同一球面上8 分
设 P 在底面 ABCD 上的射影为点G ，PG  平面 ABCD ，则PCG 就是 PC 与平面 ABCD 所成的角.
①若点 G 在 CE 上，则PCE 就是 PC 与平面 ABCD 所成的角.
BC 2  BE 2  2BC BE csCBE
在△CBE 中，由余弦定理得CE 
7
在△PCE 中，由正弦定理， sin PCE  sin CPE 
，9 分
7
7 ，当且仅当CPE  90 时，取等号10 分
7
②若点 G 不在 CE 上，连接CG, EG ，设PEG  ，GEC   ， (0, π]，  (0, π) .
2
因为 PG  平面 ABCD ， GE,CG  平面 ABCD ，所以 PG  GE ， PG  CG .
在Rt△PGE 中，由 PE  1，得GE  cs ， PG  sin ，
cs2   7  2 7 cs cs 
在△CGE 中， CG ，
PG2  CG2
所以在Rt△PGC 中， PC 
，
8  2 7 cs cs 
…12 分
则sin PCG  PG 
PC
sin
≤sin
1  cs2 
8  2 7 cs
，
8  2 7 cs cs 
8  2 7 cs
当且仅当cs   1 时，取等号，而cs  (1,1) ，所以等号取不到.14 分
令8  2 7 cs  t ， 8  2
 t  8 ，则cs  8  t ，
7
7
2
所以 1 cs2 
1 ( 8  t )2
8  2 7 cs
 2 7  4 
1 (t
 36) ≤ 4 
36
1  2 1 ，16 分
t728t7287
当且仅当t  36 ，即t  8  2 7 cs  6 ，即cs 
t
7 时，取等号.
7
所以sinPCG 7 .
7
综上所述，直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值的最大值为 717 分
7