2024-2025学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知iz=3+i，则z的虚部为( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
2.已知a=(5,−1)，b=(3,1)，则|a−b|=( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 8
3.用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为( )
A. 1400人B. 1600人C. 1800人D. 2000人
4.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为( )
A. 13B. 25C. 12D. 23
5.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若m//n，n⊂α，则m//α
B. 若m⊥β，n//β，则m⊥n
C. 若α⊥β，m//α，n⊥β，则m⊥n
D. 若m//α，n//β，m//n，则α//β
6.在梯形ABCD中，AB//CD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，若AC在AB上的投影向量为12AB，则AC=( )
A. 12AB+ADB. AB+12ADC. 14AB+ADD. AB+14AD
7.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n(Ω)=8，n(A)=3，n(B)=4，n(A+B)=5，则( )
A. A，B相互独立B. A，B互斥C. P(AB)=14D. P(A−)=38
8.已知cs(α−π3)+cs(α+π6)= 24，则cs(2α−π6)=( )
A. − 216B. − 28C. −1516D. −78
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有两组样本数据：2，6，4，2，1和4，8，6，4，3，则这两组样本数据的( )
A. 样本平均数不相同B. 样本中位数相同C. 样本标准差不相同D. 样本极差相同
10.在锐角△ABC中，sin(A+B)=35,sin(A−B)=15，则( )
A. sinAcsB=25B. tanA=2tanB
C. tan(A+B)=−43D. tanA=2+ 6
11.如图①，在长方形ABCD中，AB= 3，AD=3，M，N为AD的三等分点，P，Q为BC的三等分点，连接BM，PN，QD，分别交AC于点K，G，O.如图②，将△ACD沿AC翻折至△ACF，形成三棱锥F−ABC，则( )
A. AC⊥平面PGN
B. 当NG⊥BK时，直线MG与OQ所成的角π3
C. 当二面角F−AC−B为2π3时，BN= 222
D. 直线OF上的点到直线PG的最短距离为 32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为______．
13.已知数据1，2，4，m的方差为54，则m= ______．
14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2(asinA+bsinB−csinC)=asinBsinC，c=4，则△ABC的面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
近日，江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在[15,55]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求选取的市民年龄在[25,45)内的人数；
(2)利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计；
(3)根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数．
16.(本小题15分)
已知复数z1=csx+i,z2=1+(1− 3sinx)i,x∈(0,2π3)．
(1)当x=π3时，求z1z2和|z1−2z2|；
(2)设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若OA⊥OB，求x．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csC(acsB+bcsA)=c．
(1)求C；
(2)设D为AB的中点，分别在边BC，AC上取点E，F，使点C，D关于直线EF对称，若a=2，b=3，求1CE+1CF．
18.(本小题17分)
定义向量an,x=(csnx,sinnx)，x∈(0,π)．
(1)求a1,π6+a5,π6；
(2)若a1,x与b=(1,2)共线，求tan2x；
(3)证明：当且仅当x=π4时，|an,x−a1,x|≤|an,π4−a1,π4|对任意n∈N∗恒成立．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120°，PA⊥PB．
(1)证明：AD//平面PBC；
(2)若平面PAB⊥平面ABCD，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上；
(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.B
6.C
7.C
8.D
9.AD
10.ABD
11.ACD
12.8π
13.53或3
14.4 2
15.(1)根据题意可知，可得市民年龄在[25,45)内的频率为0.03×10+0.04×10=0.7，
由题得，随机选取了200名市民，∴市民年龄在[25,45)内的人数为0.7×200=140，
∴选取的市民年龄在[25,45)内的人数为140人；
(2)根据题意可知，可估计200名市民的年龄的平均数为
(0.01×20+0.03×30+0.04×40+0.02×50)×10=37，
∴这200名市民的年龄的平均数为37岁；
(3)根据题意可知，可知市民年龄在[15,35)内的频率之和为0.01×10+0.03×10=0.4，
市民年龄在[15,45)内的频率之和为0.01×10+0.03×10+0.04×10=0.8，
∴70百分位数应在[35,45)中，设为x，
可得0.4+(x−35)×0.04=0.7，解得x=42.5，
∴这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5．
16.(1)当x=π3时，z1=12+i，z2=1−12i，
所以z1z2=(12+i)(1−12i)=1+34i，
z1−2z2=12+i−2(1−12i)=−32+2i，则|z1−2z2|= (−32)2+22=52；
(2)由题意，A(csx,1)，B(1,1− 3sinx)，
因为OA⊥OB，所以OA⋅OB=csx+1− 3sinx=0，即sin(x−π6)=12，
因为x∈(0,2π3)，所以x−π6∈(−π6,π2)，所以x−π6=π6，即x=π3．
17.(1)在△ABC中，由余弦定理可得acsB+bcsA=a⋅a2+c2−b22ac+b⋅b2+c2−a22bc=c，
∴2csC(acsB+bcsA)=c即2ccsC=c，∴csC=12，
又∵C∈(0,π)，∴C=π3；
(2)∵a=2，b=3，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=4+9−2×2×3×12=7，即c= 7，
∴csB=4+7−92×2 7=12 7，csA=9+7−42×3 7=2 7，
连接DE，DF，则CE=DE，设为x，CF=DF，设为y，
在△BDE中，由余弦定理得x2=(2−x)2+74−2×(2−x)× 72×12 7，解得x=1914，
在△ADF中，由余弦定理得y2=(3−y)2+74−2×(3−y)× 72×2 7，解得y=1916，
∴1CE+1CF=1419+1619=3019．
18.(1)因为a1,π6=(csπ6,sinπ6)=( 32,12)，
a5,π6=(cs5π6,sin5π6)=(− 32,12)，
所以a1,π6+a5,π6=( 32,12)+(− 32,12)=(0,1)．
(2)因为a1,x=(csx,sinx)与b=(1,2)共线，因此2csx−sinx=0，
因为x∈(0,π)，因此sinx≠0，csx≠0，因此tanx=sinxcsx=2csxcsx=2，
因此tan2x=2tanx1−tan2x=2×21−4=−43．
(3)证明：因为|an,x−a1,x|= (csnx−csx)2+(sinnx−sinx)2= 2−2cs(n−1)x，
|an,π4−a1,π4|= 2−2cs(n−1)π4，
要证|an,x−a1,x|≤|an,π4−a1,π4|，只要证cs(n−1)x≥cs(n−1)π4．
①当x=π4时，cs(n−1)π4≥cs(n−1)π4对∀n∈N∗成立，
②当x∈(0,π4)∪(π4,π)时，取n=2，csx≥csπ4，解得0