河南省周口市鹿邑县第三高级中学校2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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考试模块：必修第二册
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教 A 版必修第二册．
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用进行求解.
【详解】由题知，
．
故选：B
2. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（）
A. 90 B. 88 C. 82 D. 76
【答案】A
【解析】
【分析】根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92，
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又，
所以这组数据的第百分位数是 .
故选：A
3. 已知事件与事件相互独立，若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据独立事件概率的乘法公式可得解.
【详解】由题知，
故选：D．
4. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案；
【详解】因为，余弦定理可得
，
解得 .
故选：C.
5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若，则与平行或异面
D. 若，则与相交或平行
【答案】D
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【解析】
【分析】根据直线和平面位置关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】对于 A，若，则或，故 A 正确；
对于 B，若，则由线面垂直的性质定理得，故 B 正确；
对于 C，若，则与平行或异面，故 C 正确；
对于 D，若，则与相交､平行或异面，故 D 错误.
故选：D.
6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为 1 和 3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出图形，根据棱台的体积公式结合条件即得.
【详解】如图，在正四棱台中，，，连接，，
则，，
设侧棱长为，则棱台的高为，
所以该正四棱台的体积为，
解得．
故选：B．
7. 已知圆锥的顶点为，母线长为 2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的
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一点，且二面角的大小为，则的面积为（）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出辅助线，找到即为二面角的平面角，即，并利用勾股定理求
出各边长，求出三角形面积.
【详解】由题意得，
设底面圆圆心为，取的中点，连接，
则，故，
因为，，所以 ⊥ ， ⊥ ，
故即为二面角的平面角，即，
故，，
由勾股定理得，，
所以的面积为
故选：B
8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若
，则（）
A. 9 B. 12 C. D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】由等腰三角形及外心的性质得到平分，利用正弦定理得到，从而得到
，再利用余弦定理求出与，最后利用数量积的定义计算可得.
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【详解】因为，所以在上，
又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上，
又的中垂线和的角平分线重合，
所以平分，即，
因为，所以，所以，
在与中，由正弦定理可得 ①，
②，
因为，所以，
又，
两式相除可得，由，所以，
设，则，
在与中，由余弦定理可得
，
即，解得（负值舍去），
则，
在中，
所以 .
故选：C
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有 8 个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，
抽奖者从中任取一个球，事件 A 表示“取出球的编号为奇数”，事件 B 表示“取出球的编号为偶数”，事
件 C 表示“取出球的编号大于 5”，事件 D 表示“取出球的编号小于 5”，则（）
A. 事件 A 与事件 C 不互斥 B. 事件 A 与事件 B 互为对立事件
C. 事件 B 与事件 C 互斥 D. 事件 C 与事件 D 互为对立事件
【答案】AB
【解析】
【分析】分别求出样本空间和事件、、、即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断.
【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为，
事件表示，事件 B 表示，事件 C 表示，事件 D 表示，
所以，且，，
且，
所以事件 A 与事件 C 不互斥，事件 A 与事件 B 为对立事件，
事件 B 与事件 C 不互斥，事件 C 与事件 D 互斥但不对立，
故 A，B 正确，C，D 错误.
故选：AB.
10. 已知向量，则下列结论正确的是（）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若的夹角与的夹角相等，则
D. 若，则在上的投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】先表示出的坐标，对于 A，由列方程求解即可，对于 B，由，得从而出，
对于 C，利用向量的夹角公式列方程求解即可，对于 D，利用投影向量的定义求解.
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【详解】，
对于 A，若，则，解得或，故 A 正确：
对于 B，，解得，故 B 错误；
对于 C，的夹角与的夹角相等，，即，解得，故 C 正
确：
对于 D．若，则在上投影向量为 ,
故 D 错误．
故选：AC．
11. 如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，
过点 A，B，D 作截面交于点 E，则（）
A. B. 平面平面
C. 平面 D. 点到截面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由棱柱的性质得到平面，再由线面平行的性质判断 A；由判断 C；首先证明
平面，得到，即可证明平面，从而判断 B；设与交于点，
则平面，利用等面积法求出，即可判断 D.
【详解】如图，
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在直三棱柱中，，
平面，平面，
则有平面，平面，平面平面，
可得，故 A 正确；
∵ 是的中点，，，∴ ，
又，∴ ，∴ ，
则，∴ ，
∵ ，，，平面，
∴ 平面，
∵ 平面，∴ ，
又，平面，∴ 平面，
又平面，∴平面平面，故 B 正确；
因为，平面，所以与平面不平行，故 C 错误；
设与交于点，则平面，
又因为为的中点，所以点到截面的距离等于点到截面的距离 .
在中，，由等面积法可得，
所以点到截面的距离为，故 D 正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，然后代入化简即可.
【详解】由题意得，
所以
.
故答案为：
13. 如图，点是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北
方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则
丙船到钻井平台的距离为__________海里．
【答案】
【解析】
【分析】先应用正弦定理得出，再应用余弦定理求边长即可.
【详解】设，则，
在中，由正弦定理可得，可得，所以，
则，所以海里，，
在中，由余弦定理得
，
即丙船到钻井平台的距离为海里．
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故答案为： .
14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点
，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设内切球半径为，三棱锥表面积为，根据三棱锥体积求出，然后
由球的表面积公式可得.
【详解】因为，，所以，，
当时，，因为，，
所以平面，，，
，
则三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，则由等体积法知，
解得，所以内切球的表面积．
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知为坐标原点，，， .
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（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若点满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先表示出，，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【小问 1 详解】
因为，，，
所以，，
又三点共线，所以，
所以，解得
【小问 2 详解】
因为，，
所以，，
所以，
所以
，
所以当时 .
16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进
行问卷调查，随机选取了 200 户居民的问卷评分（得分都在分内，满分 100 分），并将评分按照
分成 5 组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
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注：本次评分不低于 80 分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于 80 分的居民支持更换新物业公司.
（1）求这 200 户居民本次问卷评分的中位数；
（2）若该小区共有居民 1200 户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取 5 户，再从这 5 户中任
意选取 2 户，求这 2 户中至少有 1 户支持所属物业公司延续服务的概率.
【答案】（1） .
（2）480 （3） .
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于 1，解出的值，再根据中位数的公式计算
得出结果；
（2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户
数；
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这 5 户中
任意选取 2 户，利用古典概型，求这 2 户中至少有 1 户支持所属物业公司延续服务的概率；
【小问 1 详解】
由图知，，解得 .
评分在的频率为；
评分在的频率为，故中位数在之间.
设这 200 户居民本次问卷评分的中位数为，
则，
解得，
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故这 200 户居民本次问卷评分的中位数为 .
【小问 2 详解】
由图知，评分在频率为，
故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为 0.4，
估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户.
【小问 3 详解】
由（1）知，评分在的频数为，
评分在频数为 .
按比例分配的分层抽样的方法从中选取 5 户，
则评分在内被抽取户，
分别记为，评分在内被抽取户，分别记为 .
从中任意选取 2 户，有，共 10 种选法，
其中至少有 1 户支持所属物业公司延续服务的选法有，共 9 种，
这 2 户中至少有 1 户支持所属物业公司延续服务的概率 .
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可
求解；
（2）由正弦定理求出 c，由余弦定理求出 a，结合三角形面积公式即可求得答案.
【小问 1 详解】
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在中，，
由正弦定理得，．
又，，
，，，
，．
【小问 2 详解】
在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
的面积为．
18. 2023 年 12 月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，
从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某
体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该
企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检
测数据得到下表（单位：件）．
质量指标值
产品
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数， , ，根
据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请
根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，）
【答案】（1），
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（2）可以判定生产线技术改造是成功的
【解析】
【分析】（1）根据平均数与方差公式直接计算可得解；
（2）直接代入可得，，再根据频率公式可得解.
【小问 1 详解】
由题意可知，
；
【小问 2 详解】
由（1），则，
则，，
该抽样数据落在内的频率为，
则可以判定生产线技术改造是成功．
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为
的中点，，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，推出平面，从而是直线与平面
所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.
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（2）取的中点，连接，取的中点，连接，，由，，可
得，并由已知条件推出平面，根据线面垂直性质推出，可得是
二面角的平面角，在中，由已知条件即可求出 .
【小问 1 详解】
取的中点，连接，，
在中，，，，，
平面，平面，，
，分别为，的中点，，
，，又，平面，
直线与平面所成角为，
在中，，，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【小问 2 详解】
取的中点，连接，取的中点，连接，，
由，，可得，
，，，
又，平面，
又平面，，
是二面角的平面角，
在中，，，
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，，
故二面角的大小为．
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