2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一下学期7月期末数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为( )
A. 17B. 18C. 19D. 20
2.设事件A，B，已知P(A)=15，P(B)=13，P(A∪B)=815，则A，B之间的关系一定为( )
A. 两个任意事件B. 互斥事件C. 非互斥事件D. 对立事件
3.某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为 2，则该圆台的体积为( )
A. 7π3B. 5π3C. 2π3D. 3π
4.已知向量a，b满足a=2 3，b=3，且a，b的夹角为π3，则向量b在向量a方向上的投影向量为( )
A. 34bB. 34bC. 34aD. 34a
5.设l,n为两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若l//α,l//β，则α//βB. 若α//β,l//α，则l//β
C. 若l//n,n⊂α，则l//αD. 若l⊥α,l⊥β，则α//β
6.样本a1,a2,a3⋅⋅⋅,a10的平均数为a，样本b1,b2,b3⋅⋅⋅,b10的平均数为b，那么样本a1,b1,a2,b2,a3,b3⋅⋅⋅,a10,b10的平均数为( )
A. (a+b)B. 2(a+b)C. 12(a+b)D. 110(a+b)
7.锐角▵ABC中，角A、B、C所对的 边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m=12,csA，n=(sinA,− 32)，且m⊥n，则▵ABC的面积为( )
A. 3B. 3 3C. 5 3D. 10 3
8.如图，在梯形ABCD中，AB//DC且AB=2DC，点E为线段BC的靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且AO=xAB+yBC，则x+y的值为( )
A. 1B. 57C. 1417D. 56
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四种说法正确的是( )
A. i3−2i=i
B. 若z=1+i2，则复平面内z对应的点位于第二象限
C. 复数z=3−2i的虚部为−2i
D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
10.某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况．现随机抽取200名学生进行完成率统计，发现抽取的学生作业完成比率均在50%至100%之间，进行适当地分组后([50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])，画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是( )
A. 直方图中x的值为0.015
B. 在被抽取的学生中，作业完成比率在区间[90,100]内的学生有75人
C. 估计全校学生作业完成比率的中位数约为86.67%
D. 若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均值为84%
11.(多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )
A. 至少有1个红球与都是红球B. 至少有1个红球与至少有1个白球
C. 恰有1个红球与恰有2个红球D. 至多有1个红球与恰有2个红球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(m,1)，b=(1,−2)，c=(2,3)，若a−b与c共线，则实数m= ．
13.已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA= 5，BC= 3，则该球的表面积为 ．
14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为 ；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，CD=2DB，设AD=xAB+yAC(x、y为实数)．
(1)求x，y的值；
(2)若AB=(1,3)，AC=(4,3)，求AD⋅BC．
16.(本小题12分)
在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知它的底面边长为2．
(1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积．
(2)若直线A1C与平面ABC所成角的大小为45∘，求三棱锥C1−CA1B1的体积．
17.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 5b=4c，B=2C．
(1)求csB；
(2)若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．
18.(本小题12分)
质量监督局检测某种产品的三个质量指标x,y,z，用综合指标Q=x+y+z核定该产品的等级.若Q≤5，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
19.(本小题12分)
上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计(若该校全体学生的成绩均在[60,140)分)，按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)的分组作出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在[70,90)内抽取8人，则抽得分数在[70,80)的人数为3人。
(1)求频率分布直方图中的x，y的值;并估计本次考试成绩的平均数(以每一组的中间值为估算值);
(2)该高三数学组准备选取数学成绩在前5%的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗?
答案解析
1.C
【解析】解：数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，
则8×75%=6，
所以75%分位数为18+202=19．
故选：C．
2.B
【解析】解：因为P(A)=15，P(B)=13，
所以P(A)+P(B)=13+15=815，
又P(A∪B)=815，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)，
所以A与B为互斥事件．
故选B．
3.A
【解析】解：设圆台的母线长为l，高为ℎ，
因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，l= 2，
所以圆台的高为ℎ= l2−(R−r)2= 2−(2−1)2=1，
所以圆台的体积为V=13π(R2+Rr+r2)ℎ=13π(4+2+1)×1=7π3．
故选：A．
4.D
【解析】向量b在向量a方向上的投影向量|b|csπ3⋅a|a|= 34a，
故选：D．
5.D
【解析】对于A，若l//α,l//β，则α//β或α与β相交.故A不正确；
对于B，若α//β,l//α，则l//β或l⊂β.故B不正确；
对于C，若l//n,n⊂α，则l//α或l⊂α.故C不正确；
对于D，若l⊥α,l⊥β，则α//β，命题正确，证明如下：
如图：
假设α与β不平行，则必相交，设α∩β=m，
设直线l与α和β分别交于点A,B，在m上取一点M，连AM、BM，
因为l⊥α，AM⊂α，所以l⊥AM，
因为l⊥β，BM⊂β，所以l⊥BM，
又直线l、直线AM、直线BM在同一平面内，所以AM//BM，这与AM∩BM=M相矛盾，故假设不成立，所以α//β.故D正确．
故选：D
6.C
【解析】由题意可知a1+a2+⋯+a10=10a,b1+b2+⋯+b10=10b，所以所求平均数为
a1+a2+⋯+a10+b1+b2+⋯+b1020=a1+a2+⋯+a1020+b1+b2+⋯+b1020=12a+b
考点：样本平均数
7.D
【解析】由题意得：12sinA− 32csA=0，故tanA= 3，
因为A∈0,π2，
所以A=π3，
由余弦定理得：csA=64+c2−492×8c=12，
解得：c=3或c=5，
当c=3时，最大值为B，其中csB=49+9−642×7×3<0，故B为钝角，不合题意，舍去；
当c=5时，最大值为B，其中csB=49+25−642×7×5>0，故B为锐角，符合题意，
此时S▵ABC=12bcsinA=12×8×5× 32=10 3．
故选：D
8.C
【解析】解：根据向量的线性运算，
AO=xAB+yBC=xAB−yAB+yAC=(x−y)AB+y(AD+DC)
=(x−y)AB+y(2AF+12AB)=(x−y)AB+2yAF+12yAB
=(x−y2)AB+2yAF，
由于B、O、F三点共线，
所以x−y2+2y=1，整理得2x+3y−2=0；
又由BO=BA+AO=BA+xAB+yBC
=BA−xBA+y⋅43BE=(1−x)BA+4y3BE；
由于A、O、E三点共线，
所以1−x+4y3=1，整理得3x−4y=0；
故2x+3y−2=03x−4y=0，解得x=817y=617,
所以x+y=1417．
故选：C．
9.AD
【解析】A选项，i3−2i=−i−2⋅−ii⋅−i=−i+2i=i，A选项正确．
B选项，z=1+i2=2i,z=−2i，对应点0,−2，对应点在虚轴上，B选项错误．
C选项，复数z=3−2i的虚部为−2，C选项错误．
D选项，复平面内，实轴上的点a,0，对应的复数z=a是实数，D选项正确．
故选：AD
10.ACD
【解析】解：由频率分布直方图可得(0.005+0.010+x+0.030+0.040)×10=1，解得x=0.015，故选项A正确；
作业完成比率在区间[90,100]的频率为0.040×10=0.4，
所以作业完成比率在区间[90,100]的学生有200×0.4=80(人)，故选项B错误；
作业完成比率在区间[50,60)的频率为0.005×10=0.05，作业完成比率在区间[60,70)的频率为0.010×10=0.1，
作业完成比率在区间[70,80)的频率为0.015×10=0.15，作业完成比率在区间[80,90)的频率为0.030×10=0.3，
因为0.05+0.1+0.15=0.3<0.5，所以，全校学生作业完成比率的中位数在区间[80,90)内，设中位数为a%，则(a−80)×0.030+0.3=0.5解得a≈86.67，
所以，估计全校学生作业完成比率的中位数约为86.67%，故选项C正确；
由频率分布直方图可得，55×0.005×10+65×0.010×10+75×0.015×10+85×0.030×10+95×0.040×10=84，
所以，估计全校学生作业完成比率的平均值为84%，故选项D正确．
故选ACD．
11.CD
【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断．
A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;
B中两事件能同时发生，如“恰有1个红球和2个白球”，故不是互斥事件;
C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球，即有0个或1个红球，与恰有2个红球互斥，除此还有3个都是红球的情况，因此它们不对立，
D符合题意．
故选：CD
12.3
【解析】解：∵向量a=(m,1)，b=(1,−2)，c=(2,3)，
∴a−b=(m−1,3)，
∵a−b与c共线，
∴m−12=33，解得实数m=3．
故答案为：3．
13.8π
【解析】由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB,PA⊥AC，而AB⊥AC，
所以AP,AB,AC是长方体一个顶点引出的三条棱，
设球的半径为R，则2R2=AP2+AB2+AC2=5+3=8，所以R= 2，
所以球的表面积为4πR2=8π．
故答案为：8π
14.21；89
【解析】解：由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为70×30%=21；
样本的总体平均数为：x=20%×200+50%×220+30%×210=213，
样本的总体方差为：s2=21030+200−2132+51020+220−2132+31040+210−2132=89，
故答案为：21；89．
15.解：(1)∵CD=2DB，∴AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23(AB−AC)=23AB+13AC，
∴x=23，y=13．
(2)由(1)得AD=(2,3)，BC=AC−AB=(3,0)，
∴AD⋅BC=6．
【解析】(1)利用向量的线性运算可得AD=23AB+13AC，从而可求得x，y的值；
(2)利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可求解．
16.解：(1)正三棱柱的两个底面积之和为2× 34×22=2 3，
正三棱柱的侧面积为3×2×4=24，
故正三棱柱的表面积为2 3+24；
正三棱柱的体积为 3×4=4 3；
(2)因为AA1⊥平面ABC，所以∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成角，
故∠A1CA=45∘，
所以A1A=AC=2，故C1C=2，
VC1−CA1B1=VC−C1A1B1=13S▵C1A1B1⋅CC1=13× 34×22×2=2 33．
【解析】(1)求出三棱柱的侧面积和底面积，求出表面积，利用体积公式求出体积；
(2)先根据线面角求出棱柱的高，进而利用等体积法求出三棱锥的体积．
17.解：(1)∵B=2C，∴sinB=sin2C=2sinCcsC，
在▵ABC中，由正弦定理得，sinBsinC=bc，
又 5b=4c，∴csC=sinB2sinC=b2c=2 55，∴csB=cs2C=2cs2C−1=35；
(2)∵c=5， 5b=4c，∴b=4 5，
由余弦定理得，b2=a2+c2−2accsB，则80=a2+25−2⋅a⋅5×35，
化简得，a2−6a−55=0，解得a=11或a=−5(负值舍去)，
∵BD=6，∴CD=5，∵csC=2 55，C∈0,π，∴sinC= 1−cs2C= 55，
∴△ADC的面积S=12CD⋅AC⋅sinC=12×5×4 5× 55=10．
【解析】(1)根据二倍角以及正弦定理可得csC=2 55，即可根据余弦的二倍角公式求解，
(2)根据余弦定理可得a=11，即可根据同角关系得sinC= 55，由面积公式即可求解．
18.解：(1)计算10件产品的综合指标Q，如下表：
其中Q≤5的有A1,A2,A4,A6,A9,A10共6件，故该样本的一等品率为610=0.6，
从而估计该批产品的一等品率为0.6．
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：
A1,A2,A1,A4,A1,A6,A1,A9,A1,A10,A2,A4,A2,A6,A2,A9,A2,A10,A4,A6,A4,A9,A4,A10,A6,A9,A6,A10,A9,A10共15种．
在该样本的 一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1,A9,A10，
则事件B发生的所有可能结果为A1,A9},A1,A10,A9,A10共3种，
所以PB=315=15．
【解析】(1)分别计算10件产品的综合指标Q，找出满足条件Q≤5的件数，除以总的10件，即可估计总的一等品率；
(2)写出所有的基本事件并得其种数，找出满足条件综合指标均有Q≤4的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案．
19.解：(1)设由分层抽样可得分数在[70,80)的人数与分数在[80,90)的人数之比为3:5，
所以3:5=0.006:x，则x=0.01．
由频率分布直方图可知，分数在[70,80)的频率为0.006×10=0.06，
y=1−(0.04+0.06×2+0.1×2+0.2+0.3)10=0.014．
则平均数为=0.04×65+0.06×75+0.1×85+0.2×95+0.3×105+0.14×115+0.1×125+0.06×135=102.8分．
(2)由题意可知分数在[130,140)的频率为0.06，所以前5%在该组，不妨设第5百分位数对应的分数为x0，则可得等式为
(140−x0)×0.006=5%⇒(140−x0)×0.006=0.05，
∴x0=140−−506≈131.667，
∵x0=131.667<132，故小明能被选取．
【解析】(1)根据频率分布直方图的性质即可得出x，y，再求平均数即可；
(2)不妨设第5百分位数对应的分数为x0，由题知，(140−x0)⋅0.006=5%，求解x0再进行比较即可．产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x,y,z)
(1,1,2)
(2,1,2)
(2,2,2)
(1,3,1)
(1,2,3)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x,y,z)
(1,2,2)
(2,3,1)
(3,2,1)
(1,1,1)
(2,1,1)
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
Q
4
5
6
5
6
5
6
6
3
4