河南省信阳市高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区2023~2024学年高一下学期期末测试数学试卷[附解析]

这是一份河南省信阳市高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区2023~2024学年高一下学期期末测试数学试卷[附解析]，文件包含河南省信阳市高级中学新校贤岭校区北湖校区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题解析docx、河南省信阳市高级中学新校贤岭校区北湖校区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
数学试题
命题人： 审题人 ；
一、单选题
1. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
3. 某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉 5 个城市，甲乙两人计划“五一”小长假
前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 记 的内角 的对边分别为 .已知 ，若角 有两解，则 的值可以是（
）
A. 2 B. C. D. 4
5. 如图，锐二面角α-l-β的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直
于 AB.已知 AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子 2 次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是 1”，事件乙为“两次骰子正面向
上的数字之和是 4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是 8”，则（ ）
第 1页/共 5页
A. 甲乙互斥 B. 乙丙互为对立 C. 甲乙相互独立 D. 甲丙互斥
7. 已知正四棱台的体积为 ，上、下底面边长分别为 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在扇形 AOB 中，扇形的半径为 ，点 在弧 上移动， ．当
时， （ ）
A. B. C. 2 D.
二、多选题
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有 60 个个体的总体中抽取一个容量为 6 的样本，则个体 m 被抽到的概率是
0.1
B. 已知一组数据 1，2，m，6，7 的平均数为 4，则这组数据的方差是
C. 数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 的第 70 百分位数是 23
D. 若样本数据 的标准差为 8，则数据 的标准差为 32
10. 已知点 ， ， ，平面 经过线段 的中点 ，且与直线 垂直，下
列选项中叙述正确的有（ ）
A. 线段 的长为 36
B. 点 在平面 内
C. 线段 的中点 的坐标为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
第 2页/共 5页
11. 已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则（ ）
A.
B.
C. 满足 的复数 对应的点 形成的图形的周长是
D. 满足 的复数 对应的点 形成的图形的面积是
三、填空题
12. 已知平面向量 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则 =______.
13. 已知事件 与 相互独立， ， ，则 ______．
14. 已知四面体 中，棱 BC，AD 所在直线所成的角为 ，且 ， ，
，则四面体 体积的最大值是__________．
四、解答题
15. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、
便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民
币试点城市之一，提出了 2023 年交易金额达 2 万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出 200 人，
并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组
，第 5 组 ，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中 的值并估算样本平均年龄（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）及第 78 百分位
数；
（2）在这 200 位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在 和 内抽取 6 位市民做问卷调查，
现从这 6 位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在 内的概率.
第 3页/共 5页
16. 如图，四边形 为矩形，直线 垂直于梯形 所在的平面. ， 是
线段 的中点， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
17. 已知△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 .
（1）求角 A；
（2）若△ABC 的外接圆的面积为 ， ，求△ABC 的面积.
18. 如图，在正方体 中，已知棱长为 4，点 E，F 分别在 ， 上，
.
（1）求异面直线 AE 和 所成角的余弦值;
（2）求直线 AE 和平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 和平面 所成角 余弦值.
19. 在 中，内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c.已知 .
（1）求角 A；
（2）已知 ， ，点 P，Q 是边 上的两个动点（P，Q 不重合），记 .
①当 时，设 的面积为 S，求 S 的最小值：
②记 ， .问 ： 是 否 存 在 实 常 数 和 k， 对 于 所 有 满 足 题 意 的 ， ， 都 有
第 4页/共 5页
成立?若存在，求出 和 k 的值；若不存在，说明理由.
第 5页/共 5页