2024-2025学年河北省唐山市开滦市高二上学期期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省唐山市开滦市高二上学期期中考试数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．两平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ）
A．5B．1C．D．
4．直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．，函数的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题
9．已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为
C．面积的最大值为
D．
10．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．直线关于对称的直线方程为
11．已知点在曲线上，点，则PQ的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知空间中三点的坐标分别为，则点到直线的距离为 .
13．若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是 ．
14．已知，点是直线上的一点，以为焦点的椭圆过点，则当该椭圆的离心率取得最大值时，该椭圆的方程为 ．
四、解答题
15．已知直线过定点，根据下列条件求直线的方程．
(1)若直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程．
16．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求：
(1)试用向量表示，并求的值；
(2)求．
17．已知圆与圆．
(1)若圆与圆相外切，求的值．
(2)若，试求：
①圆与圆所得的公共弦长；
②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程．
18．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
19．已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切．
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.
【详解】依题意，直线为，
所以两平行直线与之间的距离．
故选：C
2．C
【分析】根据共面向量定理，即可判断三个向量是否共面.
【详解】A.，所以，，是共面向量，故A错误；
B.，所以，，是共面向量，故B错误；
C.不存在实数，使，所以，，不是共面向量，故C正确；
D.，所以，，是共面向量，故D错误.
故选：C
3．C
【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解.
【详解】因为点在圆C：的外部，
所以，解得，
又方程表示圆，则，即，
所以，结合选项可知，m的取值可以为.
故选：C
4．B
【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件，
故选：B．
5．D
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
则与所成的角的余弦值为
.
故选：D
6．B
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得解.
【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意；
故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，
，
有，，解得，
所以直线的方程为，即.
故选：B.
7．C
【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围.
【详解】如图所示.
设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即.
故选：C
8．C
【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.
【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，
易知，显然.
当且仅当重合时取得等号.
故选：C
9．ABD
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，的周长为，故B正确；
对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误；
对于D，设，
，
因此，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】举例说明判断A；求出直线斜率的范围，进而得倾斜角范围判断B；求出直线所过定点计算判断C；利用对称求出直线方程判断D.
【详解】对于A，在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线可以过原点，方程为，A错误；
对于B，直线的斜率，当时，倾斜角；
当时，倾斜角，因此倾斜角的范围是，B正确；
对于C，直线恒过定点，当且仅当与直线垂直时，点到该直线距离最大，此时直线的斜率，因此，C正确；
对于D，设所求直线上任意点，则它关于对称的点在直线上，
则，整理得，D正确.
故选：BCD
11．BC
【分析】根据对称性可知：只需讨论轴以及其上方的图象即可，分和两种情况，
结合圆的性质分析求PQ的最值，结合选项分析判断.
【详解】对于方程，
将换成可得：，即，
可知曲线关于轴对称，
且点在轴上，则只需讨论轴以及其上方的图象即可，
当，则曲线方程化为，即，
此时曲线为以为圆心，半径的半圆，
可知，当且仅当为线段与曲线的交点时，等号成立；
当，则曲线方程化为，即，
此时曲线为以为圆心，半径，
可知，当且仅当为的延长线与曲线的交点时，等号成立；
即，
结合选项可知：AD错误；BC正确.
故选：BC.
12．
【分析】根据题意，求得，结合点到直线的向量公式，即可求解.
【详解】由点，可得，
所以点到直线的距离为，
所以点C到直线的距离为.
故答案为.
13．
【分析】画出图形，根据点到直线的距离公式与数形结合的思想计算即可求解.
【详解】由可得，
即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，
画出图形，可得当直线经过点A−2,0时，，
当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得，
所以要使直线与曲线有两个公共点，则.
故选：C.

故
14．
【分析】结合椭圆的定义利用直线对称点结合三角形两边之和大于第三边求解出长轴的取值范围，离心率最大即半长轴取最小值,从而求解出椭圆的方程.
【详解】由题意知：椭圆以为焦点，所以，
因为椭圆过点，所以，
设点关于直线对称的点为，
则解得：
所以，当且仅当三点共线时等号成立，
又，所以，即，
所以当时该椭圆的离心率取得最大值，
所以该椭圆的方程为．
故
15．(1)或；
(2)或.
【分析】（1）利用直线的截距式方程，结合给定的点及三角形面积求解.
（2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式求解即得.
【详解】（1）依题意，设直线的横纵截距分别为，则直线的方程为，
则有，由三角形面积，联立解得或，
所以直线的方程为或.
（2）依题意，圆的圆心，半径为1，
①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，设直线点斜式方程为，即，
由直线与圆相切，得，解得，此时直线方程为，
所以直线的方程为或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出，再利用数量积的运算律求出值.
（2）由表示，再利用数量积的运算律求出向量的模.
【详解】（1）令正六边形的中心为，连接，
则四边形为菱形，，所以；
；
由，得，，
所以
.
（2）由（1）知，，，
所以
.
17．(1)
(2)① ②或
【分析】（1）求出两圆的圆心距，再由两圆外切的性质求出.
（2）①求出两圆公共弦所在的直线方程，利用圆的弦长公式求出弦长；②求出直线的方程，设出圆心坐标，借助①中弦长及切线建立方程求解.
【详解】（1）圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，则，
由圆与圆相外切，得，所以.
（2）①当时，圆，，圆与圆相交，
两圆方程相减得，点到直线距离为，
所以圆与圆所得的公共弦长为；
②直线的方程为，即，
依题意，过两圆与圆的交点的圆的圆心在直线上，设圆心，
点到直线距离，圆的半径为，
由轴与圆相切，得，整理得，
解得或，当时，点，半径为1，方程为；
当时，点，半径为5，方程为，
所以圆的方程为或.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；
（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算即可；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不等式计算即可.
【详解】（1）由题意可知圆，
所以圆心，半径，
因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以，
又，所以，
即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线．
因为曲线与直线相切，故，
解得，所以的方程为．
（2）由题意得直线，由，得，
令，
所以，即或．
设，则，
所以
，
令，则，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以面积的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
B
D
B
C
C
ABD
BCD
题号
11









答案
BC