福建省福州市闽清县第二中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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一、单选题
1．若z是复数，且（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是（ ）
A．2019年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低
B．国家财政性教育经费逐年增加
C．国家财政性教育经费占比逐年增加
D．2020年国家财政性教育经费是2014年的两倍
4．连续抛掷一枚骰子次，则第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．甲、乙两人进行了羽毛球比赛，双方约定：先胜2局者获得比赛的胜利．若某局比赛甲先发球，则这局比赛甲获胜的概率是；若某局比赛乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是．已知每局比赛都分出胜负，且各局比赛结果互不影响，若第一局是甲先发球，从第二局开始，每局由上一局的获胜者发球，则这次羽毛球比赛甲获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 45 52 59 48 41 62 48 50 52 27则这组数据的（ ）
A．众数是48B．中位数是48C．极差是37D．5%分位数是25
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若与共线，则或
C．若为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量
11．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．事件互斥B．事件与事件相互独立
C．D．
12．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．直线//平面
B．平面//平面
C．平面平面
D．与不垂直
三、填空题
13．请写出一个模长为2的虚数：______.
14．若，，，则与的夹角大小为______．
15．给出以下四个说法：①若a，b是异面直线，则有且仅有一个平面满足，且；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④若a，b是异面直线，则有且仅有一个平面满足，且．
其中正确的个数是______．
16．在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率）______．
四、解答题
17．已知复数，试求实数为什么值时，复数分别为：
（1）实数； （2）纯虚数.
18．已知向量，．
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
19．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
20．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
21．在平行四边形中，是的中点，交于点．
（1）若，求实数与的值；
（2）若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围．
22．如图，在直三棱柱中，，G是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面平面．