福建省福州第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份福建省福州第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分，考试时间：120分钟）
命题：高一数学集备组
审核：许秀亮
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则下列正确的是（ ）
A．
C．为纯虚数D．的实部为1
2．已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（ ）
A．12B．4C．6D．3
3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角的对边分别为，若，则的值为( )
A．B．C．D．
5．下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是（ ）
A．这10年粮食年产量的极差为16
B．这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C．这10年粮食年产量的平均数为33.7
D．前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
6．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D．在上的零点有4个
7．如图，平行四边形中，为的中点，与交于，则（ ）
A．在方向上的投影向量为B．以
C．D．
8．如图，三棱柱中，为中点，为上一点，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2B．C．D．1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．已知复数满足，则
B．复数的共轭复数的虚部为2
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为2
10．在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，一定为直角三角形
B．当时， 一定为直角三角形
C．当平面时，一定为直角三角形
D．当平面时，一定为直角三角形
11．在棱长为1的正方体中，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与所成角为
B．点到平面的距离为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．二面角平面角的正切值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则______．
13．已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为______．
14．如图，在四边形中，，且，．则实数的值为______；若是线段上的动点，且，则的最小值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数：
（2）在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？
（3）已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
16．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点．
（1）设平面与直线相交于点，求证：：
（2）若，求直线与平面所成角的大小．
17．（本题满分14分）平面凸四边形中，．
（1）若，求；
（2）若，求
18．（本题满分17分）如图，已知平面平面是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，且分别为的中点；
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在上移动，求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
19．（本题满分17分）定义非零向量的“相伴函数”为，
向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
（1）设，写出函数的相伴向量：
（2）已知锐角的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求：①的取值范围；②的内切圆的半径的取值范围．
福州二中2023—2024学年第四学段测试答案
1．C
2．C详解：以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量为基底，如图．
则，所以，则，故选；C
3．A详解：设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，所以该圆锥的表面积为．故选：A
4．B详解：由及正弦定理，得，可得，
由余弦定理得，又，所以．又，由，得．故选：B．
5．B详解：A选项，将样本数据从小到大排列为，这10年的粮食年产量极差为，故A正确；
B选项，，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即，故B不正确；
C选项，这10年粮食年产量的平均数，故C正确：
D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D正确．故选：B
6．D详解：由图可知，又，所以，解得，
所以，又函数过点，所以，
即，又，所以，则，
所以，故A错误；
当，则，因为在上不单调，
所以在上不单调，故B错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故C错误：
令，即，即，解得，
所以在上的零点有共4个，故D正确．故选：D
7．D详解：平行四边形中，，
所以，则，所以为的中点，
与交于，所以在方向上的投影为，
即在方向上的投影向量为，所以A错误；
因为，所以，则，
故，所以B不正确；
，所以C不正确，即，所以D正确．故选：D．
8．B详解：由题意知，，在上取点，使得，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面平面，
所以平面．
在上取点，使得，
有，所以，则，
又平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，则点的轨迹为线段．
在中，，由余弦定理，
得，
即点的轨迹长度为．故选：B
9．BD详解：对于A中所以A不正确；
对于B中，由复数，可得，可得的虚部为2，所以B正确；
对于C中，由若是关于的方程的一个根，
可得方程的另一根为，则，所以C不正确；
对于D中，由复数满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为1的圆，又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为2，所以D正确．故选：BD．
10．ACD详解：由于底面底面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以．
A选项，当时，由于平面，
所以平面，由于平面，
所以，所以是直角三角形，A选项正确．
B选项，当时，若，
则由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
则由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
这与矛盾，所以与不垂直，
当与点重合时，如下图所示，
由于，所以与平面不垂直，则与不垂直，
同时，与不垂直，则与平面不垂直，则与不垂直．
所以不一定是直角三角形，B选项错误．
C选项，当平面时，由于平面，
平面平面，所以，
所以平面，由于平面，
所以；所以是直角三角形，C选项正确．
D选项，当平面时，由于平面，
所以，由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以是直角三角形，D选项正确．故选：ACD
11．CD详解：对于A，连接，交于点，则，因为平面平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为分别为的中点，所以分别为，的中点，，所以，所以与所成角为，所以A错误，
对于B，因为等体积法可得点到面的距离为，所以点到平面的距离为，所以B错误；
对于C，因为直线与面的所成角的正弦值为，且而面，所以直线与平面所成角正弦值为所以C正确，
对于，对于，连接，交于点，连接，
四边形为正方形，为中点，
，二面角的平面角为，
平面平面，
又，
，
即二面角的正切值为正确；故选：
12．答案：7详解：由：，可得，所以，
所以．
13．答案：详解：因为正六棱柱的所有顶点都在球面上，所以外接球的球心为上下两个底面中心连线的中点，因为正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，所以此正六棱柱外接球的半径为，
所以球的表面积为，故答案为：
14．答案：
详解：（1）
，
．
（2）过A作，垂足为0，则，
以为原点，以所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：
则，设，
当时，取得最小值．
15．【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，
所以．成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84．
（2）由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有
个样本成绩在的市民人数为，
所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为．
16．【详解】（1）证明：平面与直线相交于点平面平面，
四边形是菱形，平面平面平面，
平面，平面平面；
（2）连接，取中点，连接，菱形中，是等边三角形，是中点，平面平面，
平面平面．
是直线与平面的所成角，
是中点，平面平面为中点，，中，，等边中，高中，，可得，即直线与平面的所成角等于．
17．【详解】（1）连接，由（1）知，在中易知．
在Rt中，由得，易知．
．在中由余弦定理得：
（2）．连接，在Rt中，由．得，
，
，
在中，由知：．
18．
【解答】证明：（1）取的中点．连接
分别为的中点
且，
又由ABCD为矩形
且．
即四边形EBHF为平行四边形
即
又平面平面
平面；
（2）是边长为2的等边三角形．
．
又四边形EBHF为平行四边形
又由面矩形ABCD所在平面，
面PBC
又面PBC
又由
平面PCD
由（1）得
平面PCD
由平面PCD
（3）过点作，易得即为棱锥的高，且
分别为的中点；
三棱锥的高是棱锥的高的一半，
棱锥的底面面积是棱锥的底面面积的四分之一

19．【详解】（1），所以函数的相伴向量．
（2）①由题知，由，得，
又，所以，即，所以，又，由正弦定理，得
，即，因为，
所以，即，所以，即的取值范围为；
②由余弦定理得，即，
因为，所以，
所以，
由①知，所以，所以内切圆半径的取值范围为．