贵州省六盘水市盘州市第一中学2023~2024学年高二下学期期末考试数学试卷[附解析]

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全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出一元二次不等式和绝对值不等式，再利用交集含义即可.
【详解】，，
.
故选：C.
2.已知复数，若是实数，则实数（ ）
A. 3B.C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果.
【详解】因为，则，
∴，得到，
故选：C．
3.已知向量，，且，则（ ）
A. 2B.C. 2或D. 2或
【答案】C
【解析】
【分析】应用向量垂直数量积坐标公式计算即可.
【详解】由或,
故选:C．
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A. 1600B. 1800C. 2100D. 2400
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答.
【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，
由，得，
80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以设参加本次联考的总人数约为，
则，解得：.
故选：D.
5.已知锐角满足，则（ ）
A.B.C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.
【详解】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，
即，∴.
故选：A
6.从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，即可计算结果.
【详解】这个两位数大于40的个数为．
故选：B．
7.如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可.
【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大，
此时截面大圆为等边三角形的内切圆，
根据正三角形三心合一，可知内心即重心，
所以圆半径为正三角形高的，即．
故选：B．
8.已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，的最小值为，然后分是否大于1，讨论在时的最小值，由此分别列出不等式即可求解.
【详解】当时，易知的最小值为，
当时，，令，解得，
若，则在上单调递增，且时，，
所以只需，解得或，
又，所以，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
成立，所以符合题意，
综上，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：涉及到含参分段函数的最值时，一般讨论时尽量做到有序讨论，这样可以不充不漏，从而即可顺利得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大
C.常数项为60D.有理项的个数为3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误
，
令，，∴，故C正确；
为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.
故选：AC．
10.已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.是等差数列B.若，则有最大值
C.，，成等差数列D.若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和应用对应证明等差判断A,应用数列正负求前n项和的最大值，特殊值法判断C,结合等差数列性质判断D.
【详解】，，故A正确；
若，则，最大；若，，最大；
若，则，则存在，，，故最大，故B正确；
对数列：1，2，3，…，取，，，，故C错误；
不妨设，则，
即，∴，
而，故，D正确．
故选:ABD．
11.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数在上单调递增B.函数在上单调递减
C.函数的极小值为D.若有3个不等实根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项.
【详解】对于A，因为，
所以
，，
，，函数在上单调递增，
，，
则函数在上单调递减，故A错误；
对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确；
对于C，，函数在上单调递增，
所以当时，取极小值，故C正确；
对于D，，
故
，
根据待定系数法得，故D正确
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.为了比较E、F、G、H四组数据线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据.
【答案】
【解析】
【分析】借助相关系数的性质计算即可得.
【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，
且，
所以H组数据的线性相关性最强.
故答案为：.
13.已知等比数列 各项均为正数，前 项和为 ，若 ，．则____.
【答案】31
【解析】
【分析】利用等比数列的性质先求出，再求出公比和，利用公式可求.
【详解】因为，所以，故（负的舍去），
所以，故，
所以，填.
【点睛】本题考查等比数列的性质和前 项和的计算，属于基础题.
14.已知抛物线，过直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.
【详解】因为在抛物线内部，又，所以是中点.
设，所以，即，
又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求的值
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得结果；
（2）先由三角恒等变换求得，再由正弦定理可得结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以；
（2）由（1）知，所以，又，
所以，
由正弦定理得.
16.某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据：
（1）请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）
（2）11袋
【解析】
【分析】（1）根据数据求出得出回归直线即可；
（2）应用回归直线估计判断即可.
【小问1详解】
由数据，得，，
，
，
由公式，求得，，y关于x的线性回归方程为．
【小问2详解】
由，得，而，
所以该店应至少再补充原材料11袋．
17. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表：
（1）求x的值；
（2）依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
（3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：参考公式：，其中．
【答案】（1）10 （2）有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用样本容量求x的值；
（2）利用列联表计算，与临界值比较后得结论；
（3）由分层抽样，确定抽取的6人在两层中的人数，由X可能的取值，计算相应的概率，得分布列，利用公式计算数学期望.
【小问1详解】
由题意可得高三12个班级共抽取120名，
所以，解得；
【小问2详解】
零假设：高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩无关，
利用列联表可得，
则没有理由认为零假设成立，
所以有99.90/的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
【小问3详解】
这6人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为2，
X可能的取值为1，2，3，
有；；．
故X的分布列为：
．
18.已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解；
（2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解.
【小问1详解】
依题意左、右顶点分别为，，
所以，解得，
将代入得，解得，
故双曲线方程为；
【小问2详解】
设，，直线的方程为，
将代入整理得，，
∴，，又由，
代入上式得，解得，，
因为的重心在轴上，所以，
所以，代入双曲线得，
故或．
19.已知函数（）．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得最值；
（2）由，可知，可初步确定的取值范围，再变换主元，根据关于函数单调性可得，再根据（1）可知当时恒成立.
【小问1详解】
当时，，，
可得，，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
则函数的最小值为；
【小问2详解】
由题意有，
又由函数（）单调递减，且，可得，
下面证明：当时，，
由关于的函数（）单调递减，
则有，
由（1）有，故有在时恒成立，
故若，则实数的取值范围为．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
第一次
第二次
第三次
第四次
参会人数x（万人）
8
9
10
11
原材料y（袋）
20
23
25
28
课余学习时间超过两小时
课余学习时间不超过两小时
200名以前
40
200名以后
40
a
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
1
2
3
P