贵州省六盘水市2023~2024学年高二下学期7月期末数学试卷[附解析]

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（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，然后由交集运算可得.
【详解】因，
所以.
故选：B
2.若复数，则（ ）
A.B.C.D.4
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出，再由复数的模的运算求解．
【详解】解：，
则，
故选：B
3.记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.13B.45C.65D.130
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的求和公式及等差数列的性质求解．
【详解】解：，
故选：C
4.甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
下列结论正确的是（ ）
A.甲的极差小于乙的极差B.乙的平均数大于甲的平均数
C.乙的成绩比甲的成绩更稳定D.甲的中位数小于乙的中位数
【答案】C
【解析】
【分析】结合统计知识依次判断即可．
【详解】对于A项，甲的极差为：，乙的极差为：，则A项错误；
对于B项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，则B项错误；
对于C项，根据极差，易知乙的成绩比甲的成绩更稳定，故C项正确；
对于D项，甲的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，
乙的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，故D项错误，
故选：C
5.已知为锐角，若，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用商数关系和平方关系求出，然后由正弦的两角差公式可得.
【详解】因为为锐角，，所以，
联立，解得，
因为，所以，
所以
.
故选：A
6.关于的方程对应的曲线不可能是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别取求解即可．
【详解】解：当时，方程为：，对应的图象为选项A，
当时，方程为：，对应的图象为选项B，
当时，方程为：，
得，对应的图象为选项C，
选项D图形是四条线段，没有方程与之对应，
故选：D
7.已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（ ）
A.B.8C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系,可得的轨迹方程为圆，数形结合高的最大值为圆的半径，可解问题.
【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，且，
由，得，
化简得的轨迹方程为圆，半径，
如下图，有．
故选：A

8.如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出最大正三角形的边长，进而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系利用勾股定理求解外接球半径即可.
【详解】圆内最大正三角形即圆内接正三角形.
设该圆内接正三角形的半径为，边长为，
则，
解得，
如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为，
则，
过点作平面，为底面正三角形的中心，连接，
则在中，由正弦定理得，则，
所以高，
设正四面体外接球球心为，则
于是外接球的半径，
在中，，则，
所以，解得，
则其外接球的表面积为．
故选：B.
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.函数的最小正周期为
C.函数在区间上有且仅有一个零点
D.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【答案】AD
【解析】
【分析】代入验证可判断A；根据周期定义判断的关系可判断B；直接计算可判断C；根据平移变换可判断D.
【详解】对于A，因为，所以的图象关于点对称，A正确；
对于B，因为，
所以是函数的周期，B错误；
对于C，因为，所以在区间至少有两个零点，C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得，
即，D正确.
故选：AD
10.已知函数，则（ ）
A.与互为反函数
B.若是函数的极值点，则
C.若，则
D.点在曲线上，点在曲线上，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数定义可判断A；根据极值点处的导数等于0，然后两边取对数可判断B；作出的图象，根据对称性可判断C；利用对称性，结合图象将问题转化为求点到直线的最小距离的2倍，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式可判断D.
【详解】对于A，由对数定义可知，
所以与互为反函数，A正确；
对于B，，则，
若是函数的极值点，则必有，
即，两边取对数得，B错误；
对于C，作出的图象如图：
因为与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，
所以直线与和的交点关于直线与的交点对称，
联立求解可得，所以，C正确；
对于D，由上图和对称性可知，的最小值等于点到直线的最小距离的2倍，
当过点切线平行于直线时，点到直线的距离最小，
令解得，所以此时点坐标为，
所以的最小值为，所以，D正确.
故选：ACD
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的方程为
B.过点且垂直于的直线平分
C.若，则
D.若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解.
【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，
对于B，如图，由题知，，所以，
若，所以， 正确，
对于C，记，所以，
又，得到，又，
所以，又，
由，得，错误，
对于D，因为，，
由，得，
又，得到，得到，
从而有，得到，
由，得到，
从而有，解得，正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，若，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐标表示求解．
【详解】解：因为，所以，
得，
解得，
故答案为：-2
13.现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有______种．
【答案】30
【解析】
【分析】按抽取2名男生，1名女生时，抽取3名男生时进行求解．
【详解】解：抽取3名同学可以分为两类：
当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：，
当抽取3名男生时，分配方法数为：，
则总的方法数为：，
故答案为：30
14.已知函数的定义域为，且．若，则______．
【答案】2024
【解析】
【分析】几何法：结合题意得，的图象关于直线对称，且关于点对称，结合图象求解；代数法：结合题意得，函数是周期为4的周期函数，再计算求解．
【详解】几何法：由得的图象关于直线对称；
由，得的图象关于点对称；
再根据可作出的一个符合要求的函数图象如下，
从而．
代数法：由得；
结合得；
于是，从而；
于是，所以函数是周期为4的周期函数．
由，得，所以；
由，得，所以；
由，得，从而；
从而，所以．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.记的内角所对的边分别为，已知，且．
（1）求的值；
（2）若点满足，求的长度．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由，结合二倍角公式和正弦定理得到求解；
（2）方法1：结合（1）利用余弦定理求得a，再由，得到，然后在中，利用余弦定理求解；方法2：结合（1）利用余弦定理求得a，再由，得到求解.
【小问1详解】
解：由，
得，从而，
将代入得．
【小问2详解】
方法1：，
将代入得，解得．
因为，所以，
由余弦定理得．
方法2：
将代入得，解得．
因为，所以，
两边平方得，
所以．
16.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名．
（1）请补全如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
（2）从接受乙种疗法患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数的分布列及期望；
附：
【答案】（1）答案见解析；
（2）分布列见解析，期望为1.
【解析】
【分析】（1）根据相关数据完成列联表，再求得，与临界值表对照下结论；
（2）利用超几何分布和期望求解.
【小问1详解】
解：列联表如下：
零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
【小问2详解】
抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人
随机变量所有可能取值为．
所以随机变量的分布列为
从而，所以随机变量的期望为1．
17.已知长方体中，．
（1）在长方体中，过点作与平面平行的平面，并说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）作图，即平面平面求解；
（2）方法1，以点为坐标原点建系，利用直线与平面的向量运算求解；
方法2，由体积公式求解．
【小问1详解】
解：如图，所作平面为平面．
理由如下：
因为为平行四边形，所以，
而平面平面，得平面，
同理得平面，
而平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
方法1：以点为坐标原点建系如图，则，．
，
设平面的法向量为，则
，即
令，则，所以，
设与平面所成的角为，则．
方法2：设点到平面的距离为，
依题，
因为，所以，
从而，解得，
设与平面所成的角为，则．
18.已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，．
【解析】
【分析】（1）利用导数求斜率，然后由点斜式可得切线方程；
（2）利用导数求斜率，由点斜式写出切线方程，令可得递推公式，然后根据等比数列定义可证是等比数列，利用分组求和法可得.
【小问1详解】
因为，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
，
曲线在点处的切线方程为，
令得，
于是（为常数），
所以是首项为1，公比为的等比数列．
由得，
于是，
所以．
【点睛】方法点睛：数列求和的一般方法有：1、倒序相加法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组（并项）求和法；5、公式求和法.
19.定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．

（1）求直线的方程；
（2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；（ii）．
【解析】
【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得；
（2）（i）方法一：利用点差法可证；方法二：设联立椭圆方程，利用韦达定理可证；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出，利用韦达定理化简，然后利用导数求最值可得.
【小问1详解】
由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
【小问2详解】
（i）方法1：因为，所以
设，则，
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以设，
由，
由韦达定理得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上．
（ii）由（i）可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由，
由，
由韦达定理得．
点到直线的距离，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．
【点睛】关键点睛：第二问第二小问解答关键在于对所求面积的转化，以及韦达定理的运用，将所求问题转化为关于的函数，利用导数求解可得.学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
99
乙
89
90
91
88
92
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
10
45
55
乙
15
30
45
合计
25
75
100
0
1
2