河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再根据复数的乘法计算即可.
【详解】由可得，则.
故选：.
2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据，，的单调性比较与0，1的大小关系即可.
【详解】因单调递增，所以，
因为单调递增，所以，
因为单调递减，所以，且
所以，
故选：D.
3. 已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆定义利用焦点三角形的周长列出方程，求出，根据焦点坐标求出，即可求出离心率.
【详解】因为的周长为20，所以，
由椭圆定义可知：，即，
又因为，所以椭圆C的离心率为.
故选：B.
4. 已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ）
A. 事件A与B一定是对立事件
B.
C.
D. 若事件A、B相互独立，则
【答案】D
【解析】
【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D.
【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球，
记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3，
则，满足，但不是对立事件，故A错误；
由上例可知，故B错误；
对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误.
对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立，
所以，正确.
故选：D
5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据乳香的平移变换可得函数的解析式，利用整体代换法即可求解函数图象的对称中心.
【详解】由题知.
令，解得，∴函数图象的对称中心.
∴当时，为函数图象的一个对称中心.
故选：A.
6. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A. -1B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量的概念求得，从而求出，再利用向量数量积的运算律展开运算即可.
【详解】因为平面向量，是两个单位向量，
故在上的投影向量为,
所以,
所以,
故选：B.
7. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可.
【详解】构造函数，其中，则，
故函数为偶函数，
当、且时，都有成立，
不妨设，则，即，
故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，
因为，则，
当时，由得，即，解得；
当时，由得，即，解得
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
8. 在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，得到所需各点坐标，设，将转化成，从而得到两点的坐标，再利用两点间距离公式计算，即可求出取到最小值时的值.
【详解】
由题意知，，
就是二面角的平面角，即，
以为原点，以所在直线分别为轴，过点作轴平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，，
设，
由，可知，
，，
，，
解得，
，
，
当时，取到最小值，即取到最小值.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列为递减数列
B. 当且仅当时，取得最大值
C.
D. 是等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项.
【详解】由题意可知，，则，
故数列为递减数列，故A正确；
因二次函数的对称轴为，且开口朝下，
则当或时，取得最大值，故B错误；
当时，，
则，
又，符合上式，故，故C正确；
令，则，则是等比数列，故D正确.
故选：ACD
10. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A. 的图象关于点中心对称
B. 是周期为2的函数
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，
又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；
对于 C，由，令，得，则，
，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，
而的值无法确定，故D错误.
故选：AC.
11. 已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则平面
B. 若，则的取值范围是
C. 若，则的取值范围是
D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用线面垂直判定定理可判断A选项；由结合空间向量数量积的运算性质可判断B选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；以、为邻边作平行四边形，则为矩形，分、两种情况求出球的表面积，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，又因为，，
、平面，故平面，A对；
对于B选项，，由题意，
所以
，
因为、互为异面直线，则，
故，故，B对；
对于C选项，不妨取的中点，连接、，则，
，

同理可得，，
所以，
，
因为，故，故，C对；
对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则为矩形，
故的各顶点都在球的球面上，如下图所示：

则，又因为，，、平面，
所以，平面，且，
如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：

因为，故异面直线、所成的角为或其补角，
当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，
设球的半径为，则，
此时，球的表面积为；
当时，由于，则，
则外接圆直径为，则，
此时，球的表面积为.
综上所述，球的表面积为或，D错.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若命题p：，，则命题p的否定为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.
【详解】命题p：，的否定为：，
故答案为：
13. 过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设，当若直线的斜率存在，，将点代入抛物线方程后作差，将点代入可得直线的斜率，再检验所得结果，再补充考虑斜率不存在的情况，最后可得结论.
【详解】设，
若直线的斜率存在，则，
点P是线段的中点，，
∴，
，两式作差可得，
即，又，
，
直线的方程是，即，
联立，可得，
方程的判别式，
所以方程有两个根，故方程组有两组解，满足条件，
若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时线段AB的中点为矛盾，
故答案为：.
14. 有数学、物理、化学三类竞赛名额各个，将所有名额全部分给甲、乙两所学校，每所学校每类名额至少分得一个，则甲学校所得到的三类名额的个数的乘积与乙学校所得到的三类名额的个数的乘积相等的分法有________种（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】设甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为、、，其中、、且、、，推导出、、中至少有一个，然后列举出满足题设条件的排列，即可得解.
【详解】设甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为、、，
其中、、且、、，
则甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为、、，
由题意可得，
若、、均不为，则、、中有两个数大于一个数小于或者两个数小于一个数大于，
由于对称性，不妨考查、均小于，大于，则、，，
则，则，，故，
当时，则，因为，，
等式不成立；
当时，则，因为，，
由于，且为的倍数也为的倍数，
而、、、、中没有倍数，不合乎题意；
当时，则，因为，，
又因为为的倍数，，
可得，所以，，
若时，则，此时，
若，则或，此时，
若，则，此时，均不合乎题意；
当时，则，因为，，
则，可得，故，
若，则，此时；
若，则或，此时，
若，则或，此时，
若，则，此时，均不合乎题意.
故、、中至少有一个为，不妨设，则，
由可得，则，
当时，只有种情况，
当为、、的一个排列时，有种情况；
当为、、或、、或、、的一个排列时，各有种情况.
综上所述，符合条件的分法种数为种.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求边上中线的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理可得出值，利用余弦定理得出的值，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即为所求.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得
，
即，
因为、，则，即，可得，故.
【小问2详解】
由正弦定理可得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
因为为边上的中线，所以，
所以
，故，
因此，边上的中线的长为.
16. 某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.
（1）估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数；
（2）依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望.
【答案】（1）估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和
（2）的分布列为：
【解析】
【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解；
（2）根据分层抽样计算出年龄在的人数，和年龄在的人数.由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，根据超几何分布的概率分布列公式求出取每个值对应的概率，即可求解的分布列，根据离散型随机变量的期望公式即可求出的期望.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于区间中，
中位数的估计值为；
由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为.
故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和.
【小问2详解】
由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在的有人，其中年龄在的有人.
由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
的期望.
17. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过原点的直线与交于、两点且点在第一象限，
（i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标．
（ⅱ）连接与双曲线交于点，若面积为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程；
（2）（i）设点，点在以原点为圆心，以为半径的圆上，可得出，再由点在双曲线上，结合点在第一象限可求得点的坐标；
（ii）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合三角形面积公式、韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
由双曲线的两条渐近线方程为，得，即，
又因为双曲线经过点，得，解得，，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
（i）由题意知，点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
设点，则，
又因为点在双曲线上，联立，可得，
又因为点在第一象限，所以；
（ii）设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，
由双曲线的对称性可知，
，解得或（舍去），
因为，所以，满足题意，
由图可知，所以，直线的方程为.
18. 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导得，再对分和讨论即可；
（2）（i）当时，显然不会有3个零点，当时，求出的两根，判断出的符号，利用零点存在性定理证明零点存在即可；
（ii）根据得，则，最后根据对勾函数单调性即可证明.
【小问1详解】
的定义域为，
.
当时，，所以恒成立，
所以在单调递增；
当时，，
所以的两根为，
且，所以，
所以，时，或时，．
所以在上单调递减，在和单调递增．
综上：当时，在单调递减，
在和单调递增；
当时，在单调递增.
【小问2详解】
（i）由（1）可知当时，在单调，
不可能有三个零点；
当时，的两根为，
且，所以，且，
因为在上单调递减，所以，
因为，所以，
设，
在上单调递减，，
即，所以使.
因为，
又因为，所以，
所以使，
所以，当时，有三个零点，
（ii）由（i）可知，的三个零点：，
因为，且，所以，
又因为，所以，
因为，所以函数单调递减，，
所以，得证．
19. 有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算：
第Ⅰ台：输入，则输出；
第Ⅱ台：输入，则输出，仅当a，b同为偶数时；
第Ⅲ台：输入，，则输出．
若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输入，通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到，，；通过第Ⅲ台自动打印机输入，可以得到；通过第Ⅱ台自动打印机输入可以得到．
运算过程简单表示为：
通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为1．
根据上述运算回答下面问题：
（1）若输入，输出，试列举一个完整运算过程；
（2）若输入，能否得到，并说明理由；
（3）若输入，其中，通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对的概率为，证明：．
【答案】（1）答案见解析；
（2）不能； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据输入法则写出运算过程即可；
（2）每一台自动打印机运算后都得出两数之差都是7的倍数，而不能被7整除，即可得出结论；
（3）计算得，假设，再对分类讨论，最后得到，从而得到其概率.
【小问1详解】
若输入，则，
再输入得；
【小问2详解】
不能得到
输入的两数之差是7的倍数．
第I台自动打印机运算，两个数都加1，运算后两数之差仍是7的倍数；
第II台自动打印机仅当两个数都是偶数时才能运算，所以运算后两数之差也是7的倍数，
第III台自动打印机输入的两组数对的差都是7的倍数，所以也是7的倍数，
综上，通过三台自动打印机运算得到的两数之差都是7的倍数，而不能被7整除，所以不能得到；
【小问3详解】
设为的所有情况数，因为，
所以；
由（2）可知只有当是5的倍数时符合题意，下面证明：
假设
输入，
则，
再输入得，
因为的奇偶性相同，
所以一定可以得到或，
因为，所以或，
这样就将自然数对的第一个自然数变小了，
重复上面的运算就可以得到
设通过上面运算可以得到的所有情况数为，
由上述证明可知：若输入，其中，
可以得到，则是5的倍数，
所以当时，可以取，共有中取法，
当时，可以取，共有中取法，
当时，可以取，共有中取法，
当时，可以取，共有中取法，
当时，可以取，共有中取法，
当时，可以取，共有中取法，
当时，可以取，共有中取法，
．．．．．．
当时，可以取，共有1中取法，
所以；
所以，
所以.