2026届高考一轮复习基础练数学第八章平面解析几何（第3节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系）

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圆的标准方程（掌握）： (x−a)2+(y−b)2=r2(r>0) ，圆心坐标为 (a,b) ,半径为 r .
圆的一般方程（掌握）:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2−4F>0),圆心坐标为 −D2,−E2,半径为 12D2+E2−4F .
结论:以 A(x1,y1),B(x2,y2) 为直径端点的圆的方程为 (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0。
结论拓展 : 对于平面上一点 M(x0,y0) 与圆 A:(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
|MA|=r 点 M 在圆上，即 (x0−a)2+(y0−b)2=r2；
|MA|r2。对于平面上一点 N(x1,y1) 与圆 P:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，若点 N 在圆 P 上，则 x12+y12+Dx1+Ey1+F=0；若点 N 在圆 P 外，则 x12+y12+Dx1+Ey1+F>0；若点 N 在圆 P 内，则 x12+y12+Dx1+Ey1+F9，即(1−a)2>8，解得a1+22，对应选项为(−∞,−1)∪(1,+∞)。
5. 解答题
解：设圆心(a,2a)，由|OA|=|OB|得(a−1)2+(2a)2=(a−3)2+(2a−2)2，解得a=1，圆心(1,2)，半径r=2，方程为(x−1)2+(y−2)2=4。
6. 解答题
解：设圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入A(0,1)、B(2,1)、C(3,4)得：
1+E+F=04+2D+E+F=09+16+3D+4E+F=0，解得D=−2，E=−6，F=5，标准方程为(x−1)2+(y−3)2=5。
7. 多选题
答案：A、B、D
解析：
A. 设P(x,y)，由|PA|=2|PB|化简得圆方程，正确；
B. PA⋅PB=0，轨迹为以AB为直径的圆，正确；
C. 轨迹为椭圆，错误；
D. |PA|2+|PB|2=8化简得圆方程，正确。
知识点93 直线与圆的位置关系
1. 多选题
答案：A、D
解析：
A. 点P到圆心距离(1−2)2+(3−1)2=5>2，在圆外，正确；
D. 斜率不存在时直线x=1与圆相离，故切线斜率必存在，正确。
2. 单选题
答案：D
解析：圆的标准方程(x−2)2+y2=4，圆心(2,0)，半径r=2。弦长|AB|=22，则圆心到直线距离d=r2−(|AB|2)2=2，由|2k+1|k2+1=2，解得k=−43或k=0。
3. 单选题
答案：A
解析：圆上点P(1,2)处切线斜率为−12，切线方程为y−2=−12(x−1)，即x+2y−5=0。
4. 单选题
答案：B
解析：点P(3,4)到直线距离d=|9+16−5|5=4，由d=2r得r=2。
5. 单选题
答案：C
解析：l1与l2交点(1,2)，取l1上点(0,1)关于l2的对称点(45,35)，得l3方程7x+y−9=0。圆心(2,0)到l3的距离|14−9|50=22