安徽省芜湖市无为市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份安徽省芜湖市无为市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题，共25页。
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列二次根式中能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平行四边形中，，的度数是（ ）
A B. C. D.
3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（ ）
A. 3，4，5B. 9，40，41C. D. 7，24，25
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
5. 在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
7. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（ ）
A. 14B. 17C. 20D. 24
8. 在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
9. 如图，在中，于点于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（ ）
A. 2B. C. D.
10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和5，则斜边长为___________．
12. 将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______．
13. 我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：即若一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积．现已知的三边长，，分别为，2，，则的面积为___________．
14. 如图，C为平行四边形外一点，连接，分别交边于点F，E，使，，，若，，则（1）的长为______；（2）的长为______．
三、（本大题共2小题，母小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画和．

（1）请你在方格纸中找到点，补全；
（2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由．
18. 【观察】观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
．．．．．．
【发现】请直接写出第5个等式；
【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）；
【论证】请证明你的猜想．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？
20. 如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F．
（1）求证：．
（2）已知，．求的长．
六、（本题满分12分）
21. 定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割．
（1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点是线段勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接交于点，若，求的周长．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
2024-2025学年第二学期八年级期中学情调研
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列二次根式中能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类二次根式，化简二次根式，把对应选项中的二次根式化为最简二次根式，被开方数是的二次根式才能与合并，据此求解即可．
【详解】解：A、与不能合并，不符合题意；
B、与不能合并，不符合题意；
C、与不能合并，不符合题意；
D、与能合并，符合题意；
故选：D．
2. 在平行四边形中，，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（ ）
A 3，4，5B. 9，40，41C. D. 7，24，25
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．利用二次根式的加、减、乘、除运算法则逐一对选项进行判断即可．
【详解】解：A中，和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，故不符合题意；
B中，，故选项错误，故不符合题意；
C中，，故选项错误，故不符合题意；
D中，，故选项正确，故符合题意；
故选：D．
5. 在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可．
【详解】解：∵，，
由得，
由得
∴，即，
∴是直角三角形，又，
∴选项A符合题意，
故选：A．
6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
故选：B．
7. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（ ）
A. 14B. 17C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质，先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意可得，解得，
∴，
∴正方形周长为，
故选：C．
8. 在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可．
【详解】选项A条件：
（邻边相等）且（对角线垂直）．
结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。
选项B条件：
（邻边垂直）且（对角线相等）．
结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形．
选项C条件：
（对角线相等，即）且（邻边相等）．
结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形．
，邻边相等，说明是菱形．
既是菱形又是矩形，因此能推出正方形．
选项D条件：
（对角线相等）且（重复对角线相等）．
结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形．
故选：C．
9. 如图，在中，于点于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，据此根据三角形周长公式推出，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，先根据折叠得到点在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可．
【详解】解：连接，
由折叠得，
∴点共线，即点在上，
∴当时，这时最小，
∵是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质，合理做出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和5，则斜边长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，斜边长为，
故答案为：．
12. 将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可．
【详解】解：菱形的对角线分别为和，
菱形的面积，
正方形的边长是
故答案为：
13. 我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：即若一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积．现已知的三边长，，分别为，2，，则的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，进行计算得出答案即可．
【详解】解：∵的三边长，，分别为，2，，
∴该三角形的面积
．
故答案为：．
14. 如图，C为平行四边形外一点，连接，分别交边于点F，E，使，，，若，，则（1）的长为______；（2）的长为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质证明．可得，过点作于点，利用含30度角的直角三角形可得，，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得的长．本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
．
．
故答案为：2，．
三、（本大题共2小题，母小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据完全平方公式，平方差公式计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，小明在方格纸中选择格点作顶点画和．

（1）请你在方格纸中找到点，补全；
（2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，则四边形即为所求；
（2）利用勾股定理求出，，进而求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，由平行四边形的性质可得，由此可得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
由勾股定理得，，，
∴，，
∴是直角三角形，即，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
18. 【观察】观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
．．．．．．
【发现】请直接写出第5个等式；
【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）；
【论证】请证明你的猜想．
【答案】【发现】：；【猜想】：；【论证】：见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化-规律型，观察数字的变化，找出变化规律是解题的关键．
观察题目中的4个等式，得到第5个等式为；
观察题目中的4个等式，得到第（为正整数）个等式为；
因为等式左边等式右边，可得到猜想成立．
【详解】解：【发现】第5个等式是；
【猜想】；
【论证】证明：等式左边
等式右边，
猜想成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？
【答案】这名学生的身高为1.6米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
则四边形是矩形，
∴，米，
在中，米，
由勾股定理得
（米），
∴（米），
∴米．
故这名学生的身高为1.6米．
20. 如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F．
（1）求证：．
（2）已知，．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形性质和判定、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．
（1）矩形的性质得到，，得到，，根据“”定理证明，再根据全等三角形性质即可解题；
（2）根据矩形的性质和全等三角形性质得到，，由勾股定理易求的长，根据计算即可．
【小问1详解】
证明：四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，．
由题意知，，，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割．
（1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
【答案】（1）点、是线段的勾股分割点；理由见解析
（2）或10．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解．
（1）由，可得，根据勾股定理逆定理得出以、、为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断；
（2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：点、是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形，
点、是线段的勾股分割点；
【小问2详解】
解：设，则，
①当为最长线段时，依题意，
即，
解得；
②当为最长线段时，依题意．
即，
解得．
综上所述，或10．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接交于点，若，求的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明是的中位线，得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由是的中位线，得，，，由勾股定理求出，故，，由四边形为平行四边形得，，再由勾股定理求出，即，最后由的周长为即可求解．
【小问1详解】
证明：，
是的中点，
又是的中点，
∴是的中位线，
，
点在的延长线上，
，
又，
∴四边形为平行四边形．
【小问2详解】
解：，
，且，
，
于点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
的周长为：．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）作于P，于Q，证明，即可；
（2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果；
（3）分与夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
证明：∵正方形，
∴，
作于P，于Q，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图2中，在中，，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴点F与C重合，矩形为正方形，
∴．
【小问3详解】
解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，
∴，
综上所述，或．