安徽省宿州市埇桥区教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省宿州市埇桥区教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。
1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条高的交点
C. 三条中线的交点D. 三条角平分线的交点
3. 下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A. 5＋4＞8B. 2x－1
C. 2x≤5D. －3x≥0
4. 下列等式从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，三角形沿方向平移得到三角形，，，则平移的距离为（ ）

A. 2B. 3C. 5D. 7
6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 将多项式因式分解，结果为（ ）
A. B. C. D.
9. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④
10. 如图，在中，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点连接并延长，交于点有下列说法：①线段是的平分线；②；③点到边的距离与的长相等；④；其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）把你认为正确的答案填入横线上．
11. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度得到点，则点坐标是___________．
12. 若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，那么 a-b=__________．
13. 若解集为，则的取值范围是 _________．
14. 如图，平分，点为射线上一点，过点作交于点，点为上一动点，连接，若，则线段长的最小值为___________ ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为______．
16. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论是______（填序号）．
三、解答题（本大题7个小题，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上．
17. 解不等式组：，并在数轴上找出它的解集．
18. 父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点B的坐标为（-2，-2），则点B2的坐标为_________．
（3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为______.
20. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
（1）上述分解因式方法是______；
（2）分解因式的结果是______；
（3）利用（2）中结论计算：．
21. 如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）．
（1）尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）．
（2）求证：．
22. 哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买A品牌、B品牌两种品牌号的足球，已知A品牌足球比B品牌足球单价多10元，若购买20个A品牌足球和15个B品牌足球需用3350元．
（1）求每个A品牌足球和每个B品牌足球各多少元；
（2）哈美佳外校决定购买A品牌足球和B品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个A品牌足球？
23. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
埇桥区教育集团2023—2024学年度第二学期期中学业质量检测
八年级数学试题卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入括号内.
1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转后与原来的图形重合；由此问题可求解．
【详解】选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条高的交点
C. 三条中线的交点D. 三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质可确定三角形中到三边距离相等的点满足的条件．
【详解】解：三角形三个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等．
故选：D
3. 下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A. 5＋4＞8B. 2x－1
C. 2x≤5D. －3x≥0
【答案】C
【解析】
【详解】A. ∵5+4＞8不含未知数,故不是一元一次不等式;
B. ∵2x-1不含不等号,故不是一元一次不等式;
C. 2x≤5一元一次不等式;
D. ∵ -3x≥0的分母中含未知数,,故不是一元一次不等式;
故选C.
【点睛】本题考查一元一次不等式的识别,注意理解一元一次不等式的三个特点:①不等式的两边都是整式;②只含1个未知数;③未知数的最高次数为1次.
4. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【详解】解：A．是整式的乘法，故选项错误，不符合题意；
B．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故选项错误，不符合题意；
C．把一个多项式化为几个整式的积的形式，故选项正确，符合题意；
D．是乘法交换律，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
5. 如图，三角形沿方向平移得到三角形，，，则平移的距离为（ ）

A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵三角形沿方向平移得到三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
即平移的距离为5．
故选：C
【点睛】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．
6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
7. 关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解方程得x＝4−3m，由方程的解为正数得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】解方程2x＋3(3m−1)＝1＋x，得：x＝4−3m，
∵方程的解为正数，
∴4−3m＞0，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力．
8. 将多项式因式分解，结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先提取公因式，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把看作一个整体．
9. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ）

A ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【详解】解：当正方形放在③位置，即是中心对称图形．故选C．
10. 如图，在中，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点连接并延长，交于点有下列说法：①线段是的平分线；②；③点到边的距离与的长相等；④；其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：由基本作图可知：AD是∠BAC的平分线，故①正确，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴，AD＝DB，AD＝2CD，故②正确，
∵点D在AB的角平分线上，
∴点到 边的距离与 的长相等，故③正确；
∵AD＝DB，AD＝2CD，
∵BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故④正确，
∴结论①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，读懂题意是解题的关键．
二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）把你认为正确的答案填入横线上．
11. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点的平移规律“上加下减，左减右加”求解即可．
【详解】解：点向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标是
故答案为：
【点睛】此题考查了点的平移，解题的关键是掌握点的平移规律．
12. 若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，那么 a-b=__________．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算出（x+1）（x-2），再与x2+ax+b进行比较，从而得到a、b的值．
【详解】∵多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，而(x+1)(x-2)＝x2-x-2，
∴a=-1，b=-2，
∴a-b=1，
故答案是：1.
【点睛】考查了因式分解以及多项式乘多项式，解题关键是运用（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab进行计算.
13. 若的解集为，则的取值范围是 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：的解集为，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
14. 如图，平分，点为射线上一点，过点作交于点，点为上一动点，连接，若，则线段长的最小值为___________ ．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同位角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得．
【详解】解：如图，过点作于，

当时，的长最小，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
的最小值，
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用一次函数的图象求不等式的解集，先计算点A的坐标，再求k的值，然后计算与x轴的交点坐标，再根据交点坐标即可求解．
【详解】解：将点代入，可得，
∴点A的坐标为，
将点A坐标代入，可得，
∴，
令可得，，即与x轴的交点为，
∴的解集为．
故答案为：．
16. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论是______（填序号）．
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】①、由题意可得△BO’A≌△BOC，从而得到结论；②、连接OO′，根据旋转的性质可得结论；③、根据∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′及前面的结论可得解答；④、根据四边形AOBO'的面积= Rt△AOO′面积+等边△BOO′面积去求解；⑤、根据S△BOC＝S△BO’A=S四边形AOBO’﹣S△AOB去解答．
【详解】解：在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
∴O′A＝OC．
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；
如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，
∴点O与O'的距离等于OB为8，故②错误；
在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．
∴Rt△AOO′面积＝×6×8＝24，
又等边△BOO′面积＝×8×4＝16，
∴四边形AOBO'的面积为24+16，④错误；
∵∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；
如图2，过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，
∵∠AOB＝150°，
∴∠BOE＝30°，
∵OB＝8，
∴BE＝4，
∴S△AOB＝×OA×BE=×6×4＝12，
∴S△BOC＝S△BO’A=S四边形AOBO﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故⑤正确，
故答案为①③⑤．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的面积及等边三角形面积的求法是解题关键．
三、解答题（本大题7个小题，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上．
17. 解不等式组：，并在数轴上找出它的解集．
【答案】，在数轴上表示见解析．
【解析】
【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为：．
将其表示在数轴上，如图所示：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．
18. 父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？
【答案】40岁，14岁
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得到，将变形为，整体代入求出，即可求出，问题得解．
【详解】解：由题意，得，
∵，
∴，
解得，
∴．
答：父亲今年40岁，儿子今年14岁．
19. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点B的坐标为（-2，-2），则点B2的坐标为_________．
（3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为______.
【答案】（1）见解析；（2）图见解析；（2，2）；（3）（0，-1）
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1．
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可；
（3）连接A1A2，C1C2，作A1A2和C1C2的垂直平分线交于点P，观察图形即可得出结论．
【详解】（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；若点B的坐标为（-2，-2），则点B2的坐标为（2，2）；

（3）连接A1A2，C1C2，作A1A2和C1C2的垂直平分线交于点P，由图可知：P（0，-1）．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
（1）上述分解因式的方法是______；
（2）分解因式的结果是______；
（3）利用（2）中结论计算：．
【答案】（1）提公因式法
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．
（1）用的是提公因式法；
（2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；
（3）由（2）中得到的规律，令变形求解即可．
【小问1详解】
解：上述分解因式的方法是提公因式法，
故答案为：提公因式法．
【小问2详解】
……
由此可知；
小问3详解】
令（2）中的，
可得：
∴
∴
∴
∴．
21. 如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）．
（1）尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）．
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作垂线和角平分线以及等腰三角形的判定．
（1）根据垂线的作法和角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质得到，再由等角对等边即可得到结论．
【小问1详解】
如图，即为所求的垂线．
即为所求的角平分线．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵AF为的平分线，
∴，
∴，
∴．
22. 哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买A品牌、B品牌两种品牌号的足球，已知A品牌足球比B品牌足球单价多10元，若购买20个A品牌足球和15个B品牌足球需用3350元．
（1）求每个A品牌足球和每个B品牌足球各多少元；
（2）哈美佳外校决定购买A品牌足球和B品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个A品牌足球？
【答案】（1）100元，90元
（2）15个
【解析】
【分析】（1）设B品牌足球的单价为x元，则A品牌足球的单价为元，根据题意，得计算即可．
（2）设最多可以购买y个A品牌足球，根据题意，得计算即可．
【小问1详解】
设B品牌足球的单价为x元，则A品牌足球的单价为元，
根据题意，得
解得，
答：每个A品牌足球100元，每个B品牌足球90元．
【小问2详解】
设可以购买y个A品牌足球，
根据题意，得,
解得．
答：最多可以购买15个A品牌足球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键．
23. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析
（3）当或或时，是等腰三角形
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识．
（1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形；
（2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形；
（3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
解：是直角三角形．
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
【小问3详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
①当时，则，即，∴；
②当时，则，即，∴；
③当时，则，即，∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．