【数学】山东省泰安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（B卷）（解析版）

这是一份【数学】山东省泰安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（B卷）（解析版），文件包含20252026学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三上学期期中历史试卷11月试卷版pdf、20252026学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三上学期期中历史试卷11月答案解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 直线在轴上的截距是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于直线，它在轴上的截距为. 故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】由题意得，，即直线的斜率为，
所以直线的倾斜角的正切值为，则直线的倾斜角为.故选：C.
3. 已知点沿着向量的方向移动到点Q，且，则点Q的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设,，则，
由得，解得或（舍），
∴，∴，
∴，即.故选：C.
4. 已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】，则圆心坐标为，半径为2，
由于，可知点在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，此时直线方程为，即.
综上所述，切线方程为：或. 故选：D.
5. 已知正方体中，，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，

不妨设正方体的棱长为2，
则,0,，,0,，,0,，,2,，,2,，,2,，,1,，,1,
所以，，
设与和均平行的平面的法向量为,,，则有，
令，则,1,，
对于A，，则，所以与和共面，故A正确；
对于B，，则，所以不与和共面，故B错误；
对于C，，则，所以不与和共面，故C错误；
对于D，，则，所以不与和共面，故D错误．
故选：A．
6. 已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】直线的方程可化为，由得，
所以，直线过定点，点关于点的对称点为，
因此，直线恒过的定点. 故选：C.
7. 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，D为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
取中点，则，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，
∴，
由图可知，平面法向量为.
设与平面所成的角为，则，
故与平面所成的角的正弦值为. 故选：B.
8. 已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为点在直线上，
所以，即，则，
因为圆可化为，
所以圆A的圆心为，半径为，
因为以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，
所以，即，
即，解得，
则，即，则.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，直线，若或，则a的值可能为（ ）
A. 4B. C. D. 1
【答案】BC
【解析】对于直线，直线，
若，则，所以，解得，故B正确；
若，则，解得，经检验，满足要求，故C正确；
由上述解析可知AD错误. 故选：BC.
10. 已知圆，则（ ）
A. 点在圆内
B. 若点在圆上，则的最大值为
C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为
D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B，因为圆，可化为，
所以圆心，半径为，
设，则，又点在圆上，所以直线与圆有交点，即，解得，所以的最大值为，故B正确；
因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为，
所以圆心到直线的距离为1，即，解得，故C正确；
对于D，设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
则，
而的最小值为，
所以，当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立，则的最小值为. 故选：BCD.
11. 在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，的面积S的最大值为
C 当时，有且仅有一个点P，使得
D. 当时，有且仅有一个点P，使得平面
【答案】AC
【解析】由题意得，.
∵，平面，平面，，
∴平面，
∵，∴平面.
由得点在四边形内（包含边界）.

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，∴，
∴，由得，.
A. 当时，，此时点到距离为，
故，为定值，选项A正确.
B. 当时，，，当时，，
由平面，平面，得，
∴，最大值为，选项B错误.
C. 当时，，
由得，，故有且仅有一个点P，使得，选项C正确.
D. 当时，，
由题意得，四边形为正方形，故，
要使平面，需，
∵，∴不成立，选项D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量，，则______．
【答案】6
【解析】∵，，
∴，
∴. 故答案为：6.
13. 已知在长方体中，，，则到平面的距离为______．
【答案】1
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，可得，
设平面的一个法向量为，可得，
令，则，即，又，
所以到平面距离为. 故答案为：1
14. 已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为______________.
【答案】
【解析】依题意，设，又，，
则，，，
因为，所以，
则，故，因为，所以，
所以，则，
所以D点的轨迹方程为. 故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点．
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求的面积．
解：（1）由得，即点.
因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为，
故所求直线方程为，即.
（2）直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为，
则，点到的距离，
所以，的面积.
16. 已知点，，点A关于直线的对称点为C.
（1）求的外接圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程.
解：（1）依题意，设点，因为点与点关于直线对称，
所以，解得，故，
设的外接圆的一般方程为，
则，解得，
则圆的一般方程为，所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆的圆心为，半径为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时的方程为，即
综上，所求直线的方程为或.
17. 如图，在三棱锥中，，，M在线段上，且，N为的中点.

（1）证明：；
（2）求异面直线，所成角的余弦值.
（1）证明：连接，如图，

，N为的中点.，，
又平面，，平面，
由平面，所以；
（2）解：取的靠近点的三等分点，连接，如图，

则，异面直线，所成的角为或其补角，
由题意，，，
，所以，
又，,所以，
则在中，，
即异面直线，所成角余弦值为.
18. 已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标．
解：（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为，
根据题意可得，即，
解得，故圆心为，该圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
（2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得，
又因为，，则，且，，
所以，四边形面积，
当时，取最小值，则四边形面积最小，
因为直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
由得，即点的坐标为，
此时，则四边形面积的最小值为.
19. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.
（1）证明：取BD中点，连接PO，
是BM的中点，，且，
在线段CD上取点，使，连接OF，QF，
，，且，
，四边形POFQ为平行四边形，，
又平面平面，平面.
解：（2），则，，
取BD中点，则，又平面，平面BCD，
以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则，，，
，所以，故，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，即，
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，，
点为内动点且平面QGM，
又平面ABD，平面平面，，故点在OM上，
设，又，，，
则，，
易知平面的一个法向量为，
设QG与平面所成角为，则最大时，最大，
，
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大.