山东省泰安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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数学试题
2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在y轴上的截距是（ ）
A.B. C.D.
2.下列方程所表示的直线中，倾斜角为120°的是（ ）
A.B.
C.D.
3.已知点沿着向量的方向移动到点Q，且，则点Q的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A.B.或
C.D.或
5.已知正方体中，，O分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（ ）
A.B.C.D.
6.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，D为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则m的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线，直线，若或，则a 的值可能为（ ）
A.4B.C.D.1
10.已知圆，则（ ）
A.点在圆C内
B.若点在圆C上，则的最大值为
C.若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为
D.若点P在直线上，点Q在圆C上，，则的最小值为.
11.在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，三棱锥的体积为定值
B.当时，的面积S的最大值为
C.当时，有且仅有一个点P，使得
D.当时，有且仅有一个点P，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义，若向量，向量的模为2，向量与向量的夹角为，则_______.
13.已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为______.
14.“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知点，，点A关于直线的对称点为C.
（1）求的外接圆E的标准方程；
（2）若过点的直线l被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程.
16.（15分）
如图，在三棱锥中，，，M在线段上，且，N为的中点.
（1）证明：；
（2）求异面直线，所成角的余弦值.
17.（15分）
已知椭圆的上顶点为，离心率为，左焦点为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且的面积为，求直线l的方程.
18.（17分）
如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若G为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.
19.（17分）
定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，，，中恰有三点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标；
（3）设（2）中的两个点G分别为，，设O为坐标原点，点P，Q在椭圆E上，满足且点P，Q在直线两侧，求四边形的面积的最大值.