2023-2024学年山东省泰安市高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市高三上学期11月期中考试数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，8，首项为，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．设，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．的值为（ ）
A．B．C．D．
4．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5．有四个关于三角函数的命题：
：xR, +=: x、yR, sin(x-y)=sinx-siny
: x,=sinx : sinx=csyx+y=
其中假命题的是
A．，B．，C．，D．，
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的图象关于对称，为偶函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
8．在下列四组函数中，函数与的图象上存在关于x轴对称的点的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
10．已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的一个对称中心为
C．是函数的一个周期
D．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
11．设数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．是单调递减数列
C．
D．
12．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上存在极大值
B．为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在中，若，则
14．已知是第四象限角，且，则 .
15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
16．已知数列满足，设数列的前n项和为，若，，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数，，是的导函数.
(1)已知的解集为A，集合，若，求a的值；
(2)若在上存在单调减区间，求a的取值范围.
18．已知函数.
(1)解不等式；
(2)设，求在上的最值.
19．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求；
(2)记，求数列的前n项和.
20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)若，求；
(2)延长BC至点D，使得，若，求面积的最大值.
21．某公司在年初购买了一批价值1000万元的设备，设备的价值在使用过程中逐年减少，前5年每年年底的价值比年初减少m万元，从第6年开始，每年年底的价值为年初的80%，已知第7年年底的设备价值为608万元，设备运行一段时间后需要运行养护维修，前3年不需要养护，第4年的养护费为19万元，此后每年在上一年的基础上上升25%.
(1)求第n年年底设备价值的表达式；
(2)当设备价值低于当年设备花费的养护费时，公司就于当年年底淘汰该批设备，问公司在第几年年底淘汰该批设备？（参考数据，）.
22．已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：当时，；
(2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明.
1．B
【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可.
【详解】由题意，，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
由集合中元素满足互异性，所以.
故选：B
2．A
【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.
考点：充分条件与必要条件.
【方法点睛】判断是不是的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当成立时，也成立，就说是的充分条件，否则称为不充分条件；而当成立时，也成立则是的必要条件，否则称为不必要条件；当能证明的同时也能证明，则是的充分条件．
3．C
【分析】根据正切和差角公式即可求解.
【详解】
,
故选：C
4．D
由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.
【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；
当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.
故选：D.
本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.
5．A
【详解】故是假命题；令但故是假命题.
6．B
【分析】根据题意，构造函数，，即可判断的大小关系，然后作差，即可得到结果.
【详解】因为，则，且，
则，则；
构造函数，，则，
令，则，令，则，
所以当，单调递增，当，单调递减，
则时，有极大值，即最大值，
所以，即时，，
且，，则，所以；
即.
故选：B
7．C
【分析】利用函数的对称性和奇偶性逐项判断即可.
【详解】因为函数的图象关于对称，所以关于对称，
即①，
因为为偶函数，所以，
则②，
由①②得，，
所以，,4为周期，
对于C，令，
则，
则为奇函数，C正确；
对于A，令，
则，
所以不为奇函数，A错误；
对于B，令，
则，
即，所以不为奇函数，B错误；
对于D，令，则
所以不为奇函数，D错误；
故选C.
8．D
【分析】函数的图象关于x轴对称的函数为，则函数与的图象上存在关于x轴对称，即函数与的图象有交点，分别作出函数与的图象，由图即可得解.
【详解】对于A，函数的图象关于x轴对称的函数为，
如图作出函数与，
由图可知函数与的图象没有交点，
所以A选项不符题意；
对于B，函数的图象关于x轴对称的函数为，
如图作出函数与，
由图可知函数与的图象没有交点，
所以B选项不符题意；
对于C，函数的图象关于x轴对称的函数为，
如图作出函数与，
由图可知函数与的图象没有交点，
所以C选项不符题意；
对于D，函数的图象关于x轴对称的函数为，
如图作出函数与，
由图可知函数与的图象有交点，
所以D选项符合题意.
故选：D.
9．AC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由可得，
对于A,由于，所以，A正确，
对于B，当时，，故B错误，
对于C，，则，又，所以，故，C正确，
对于D，当时，，故D错误，
故选：AC
10．BCD
【分析】根据函数图象可得及函数的最小正周期，即可求出，再利用待定系数法求出，再根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】由图可知，，
所以，所以，
故，
又，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以函数的一个对称中心为，故B正确；
对于C，因为函数的最小正周期为，
所以是函数的一个周期，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，
得，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】构造法得、判断A，并可得，应用分组求和、等比数列前n项和公式求，根据通项公式判断单调性判断B、C、D.
【详解】由题设，则，
当，则，则，
所以是首项、公比均为的等比数列，则，
故，则，故不递减，
，
在上递增，
所以，
综上，A、C、D对，B错.
故选：ACD
12．BCD
【分析】利用导数探讨的单调性判断A；求出并利用导数探讨其性质，结合函数零点判断B；利用函数的单调性脱去法则“f”，再利用的单调性求出最小值判断C；由已知结合同构思想得，再利用导数求出的最小值判断D.
【详解】对于A，，令，则，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
于是，因此在上单调递增，在上无极值点，A错误；
对于B，，令，则，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
则，即，显然当时，恒有，
方程有两个不同实根，即直线与函数的图象有两个交点，
因此，B正确；
对于C，由选项B知，在上恒成立，则函数在上单调递增，
于是，不等式，
则有，，由选项A知，函数在上单调递增，
因此，即，所以实数a的最大值为，C正确；
对于D，若，则，
即，由，得，
由选项A知，函数在上单调递增，于是，，
因此，令，则，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，从而，
所以的最大值为，D正确.
故选：BCD
结论点睛：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；
（2）若，总有成立，故；（3）若，使得成立，故；
（4）若，使得，故.
13．
【分析】由正弦定理求解．
【详解】由得．
故．
14．
【分析】利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行求解即可.
【详解】由题意，得，
即
因为是第四象限角，即，
所以，
则，
所以，
故-2
15．
【分析】求导，根据在上单调递增，由在上恒成立求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得，
所以a的取值范围是，
故答案为；
16．100
【分析】根据已知递推公式得出，，则，由此可以求出，根据，即可求得.
【详解】由，
得，则，
所以，则，
所以，
可知，
所以，
因为，所以，
，
则，
所以，
又
所以，
所以，
.
故100
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，将集合化简，再由交集的结果，列出方程，即可得到结果；
（2）将问题转化为在上有解，结合二次函数的对称轴，即可得到结果.
【详解】（1），
.
，，
5为方程的根.
，.
（2）由题知在上有解，
的对称轴为，
在上单调递增，
，.
18．(1)
(2)最小值为，最大值为5
【分析】（1）由两角和的正弦公式和倍角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，解不等式；.
（2）化简函数解析式，由定义域结合函数解析式求值域.
【详解】（1）
.
∴即，
，，
，.
不等式的解集为
（2）
.
，，
设，则.
令，则，
当时，.
当时，.
在上的最小值为，最大值为5.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系可得是等差数列，即可求解，进而可得，
（2）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1），
，又
.
数列是公差为2，首项为的等差数列.
,即.
当时，，
故.
（2）时，
时，.
设的前n项和为，则
，
.
.
（）
当时，也符合，
所以
20．(1)
(2)4
【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理边角互化、余弦定理分析运算即可得解.
（2）利用余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积公式、基本不等式分析运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，，，，
∵
，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：
如上图，由（1）知，
∵，∴，
∴在中，，又知，
∴.
∵，
∴在中，，
∴，
∴.
∴
，
当且仅当即时，等号成立，
∴的面积最大值为4.
21．(1)
(2)公司应在第14年年底淘汰该批设备
【分析】（1）根据等差数列等比数列的定义，即可根据首项和公差公比求解，
（2）根据数列的单调性，结合对数运算即可求解.
【详解】（1）设第n年年底设备价值为万元，，
因为前5年每年年底的价值比年初减少m万元，
所以当时，为等差数列，公差为，首项为，
所以.
又因为从第6年开始每年年底的价值为年初的80%，
所以当时，为等比数列，公比为0.8，首项为，
所以.
因为，即，
解得.
综上，.
（2）设第n年养护费为万元，，
由题意，时，，
当时，成等比数列，公比为，
.
由（1）知，时，递减，，
当时，令，即，
整理得，即.
解得.
公司应在第14年年底淘汰该批设备.
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）点在曲线和切线上，所以先求出点，然后代入，计算出，再对进行求二阶导数，分析在时的情况即可.
（2）现根据的表达式化简，在对其求导，当导函数为零时，对应的方程在有两个不同实根，，结合二次方程根的分布化简，得到的表达式，利用换元法，转化为：，分析的单调性讨论其正负即可.
【详解】（1）由题知，，，.
，，
设，则.
单调递增，
当时，.
（2）
，
.
由题知，即在有两个不同实根
，即
，
，，
设，则，单调递减，
当时，，
，即，
又，.
方法点睛：切线问题：可分为在某点的切线和过某点的切线两种；
“在某点”时，此点即为切点，直接代入导数求出斜率，然后用点斜式即可书写切线方程；
“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.