【数学】山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测试题（解析版）

这是一份【数学】山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，解得．故选:B
2. 抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）.
A A与B对立B. A与B互斥
C. D. A与B相互独立
【答案】D
【解析】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误.
又因为，而，，
所以，，故C错误，D正确. 故选：D
3. 已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，所以①，
因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，由①②可得.
所以圆心的坐标是），圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是. 故选:C.
4. 甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率（ ）
A. 0.5B. 0.6C. 0.357D. 0.275
【答案】D
【解析】由题意， 第一局甲先着子，甲前两局获胜的概率为，
第一局乙先着子，甲前两局获胜的概率为，
故甲前两局获胜的概率为. 故选：D.
5. 在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A.
6. 若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，
，为的中点，为的中点，，
由勾股定理可得. 故选：C.
7. 已知点，．若直线与线段无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以直线的方程恒过定点，斜率为.
因为，，所以，.
如图所示，
由图象可知，， 即时，直线与线段无公共点，所以实数的取值范围为， 故选：A.
8. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，所以,
设平面的法向量为，则，
令，则，
因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为 . 故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知事件，发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若与互斥，则
C. 若与相互独立，则
D. 若，则与相互独立
【答案】CD
【解析】对于A选项，若，则，所以，A错误；
对于B选项，若与互斥，则，B错误；
对于C选项，若与相互独立，则，
所以，，C正确；
对于D选项，若，且，
所以事件与相互独立，则事件与相互独立，D正确；故选：CD.
10. 在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. 过点作圆M的切线有且只有一条
B. 若圆和圆恰有3条公切线，则
C. 若的最小值为1，则
D. 若，则直线的斜率的最大值为
【答案】BD
【解析】由圆，可得圆心为，半径为，
圆，可得圆心为，半径为，
对于A中，由点在圆外，所以过点的切线有2条，所以A不正确；
对于B中，若圆和圆恰有3条公切线，则圆和圆相外切，
所以，即，解得，所以B正确；
对于C中，当圆和圆外离时，可得的最小值为，此时；
当圆和圆内含时，可得的最小值为，此时，所以C不正确；
对于D中，当时，则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率，
如图所示，，且，所以，
在直角，可得，所以，
即直线PQ的斜率的最大值为，所以D正确.
故选：BD.
11. 已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与平面所成角的正弦值范围为
B. 当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形
D. 已知为的中点，当的和最小时，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，
平面，则为平面的一个法向量，且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，当与重合时，连接，
在正方体中，平面，
平面，
∵四边形是正方形，则，，平面，
平面，平面，，同理可证，
，平面，平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.分别取棱,,,,,的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面交棱于点，点，，
平面，平面，，即，得，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，如下图所示：
若最短，则三点共线，
，，又，
，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为________.
【答案】
【解析】由题意得直线过定点，
圆圆心为，半径为，在圆内，
当直线与垂直时，弦长最小，此时，
所以AB长度的最小值为. 故答案为：.
13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_____．
【答案】
【解析】因为，，
则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，当、、不共线时，面积的最大值是___________.
【答案】
【解析】以经过、直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则、，设，因为，所以，
两边平方并整理得：，即，
所以面积的最大值是. 故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；
（2）请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平.
解：（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件．甲编号为，乙编号为，表示一个基本事件，则两人摸球结果包括共25个基本事件；
包括的基本事件有共5个． ∴．
甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为．
（2）这种游戏不公平．设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件．
甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个：．
所以甲胜的概率为， 乙胜的概率为，
∵，∴这种游戏规则不公平．
16. 已知直线过定点
（1）若到直线的距离为，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
解：（1）当直线斜率不存在时，由过得，满足到的距离为3，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
点到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为即，
综上所述，所求的直线方程为或.
（2）若直线分别与轴，轴负半轴交于两点，则设直线为，，则,
，
当且仅当时取等号， 故面积的最小值为12，
此时直线l的方程为.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
（1）证明：连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点，
所以，平面，平面，所以平面；
解：（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系

，，，则，，
设平面的法向量，则，
令，，，所以平面的法向量，
，，，
，
设直线与平面的夹角为，
则，
解得或， 又，
则或
18. 已知点为圆上的动点，点，延长至点使得为的中点．
（1）求点的轨迹方程．
（2）过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为两点，求最小值．
（3）若直线l：与圆交于两点，且直线的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）设，动点，由中点的坐标公式解得，，
又在圆上，可得，即可得，
∴点的轨迹方程是．
（2）设．则，，，
所以： ，当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为．
（3）如下图所示：
联立方程组，得，
设，，则，
∴，
故的值为定值，且定值为．
19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
解：（1）由，，知，，
所以，所以；
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
①，
.
②因为，所以，
则，
∵， .
∴，
，
所以与的夹角的余弦值为