【数学】云南省曲靖市麒麟区2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，故选：A.
2. 已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦距，解得，
双曲线的是实轴长为，解得，则，
即双曲线C的渐近线方程为，故选：.
3. 已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆的半径，所以，圆的方程为，
即.故选：C.
4. 记为等比数列的前n项和．若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，则由，所以，又.
所以．故选：A
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，，
在中，由余弦定理得，化简得，
则，所以，故选：C.
6. 若直线与圆：相交于，两点，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线，即恒过定点，
而，即点在圆内，因此当且仅当时，最小，
而圆的圆心，半径，，所以
故选：B

7. 已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，的斜率为，而的渐近线为，
由于直线与双曲线没有公共交点，如图，所以，即，故，
即，所以，故，即.
故选：C.
8. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A. 8B. C. D. 10
【答案】B
【解析】由正项等比数列可知，，成等比数列，
则，又，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.故选：B.
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 若圆与轴相切，则
B. 若，则圆C1与圆C2相离
C. 若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D. 直线与圆C1始终有两个交点
【答案】BD
【解析】
因为，，
对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误；
对B，当时，，两圆相离，故B正确；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；
对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD
10. 已知等差数列的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A. a1=22B. d=－2
C. 当n=10或n=11时，Sn取得最大值D. 当Sn>0时，n的最大值为20
【答案】BCD
【解析】等差数列的前项和为，公差，
由，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即，
化为，②由①②解得，，
则，，
由，可得或11时，取得最大值110；
由，可得，即的最大值为20．
故选：BCD
11. 已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ）
A. 点P的轨迹方程为：
B. P，A，B不共线时，面积的最大值为
C. 存在点P，使得
D. 为坐标原点，的最小值为4
【答案】BD
【解析】选项A，设，则，平方整理得，即为点轨迹方程，A错；
选项B，由轨迹方程知点轨迹是椭圆，，由于，椭圆的焦点是，
当点为椭圆短轴顶点时，面积最大，此时面积为，B正确；
选项C，由于，因此以为直径的圆与椭圆没有交点，因此不存在，使得，C错；
选项D，如图，作，为垂足，则，，
当且仅当共线时，取得最小值4，即的最小值为4，D正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 抛物线的焦点坐标为______．
【答案】
【解析】由可得，所以焦点坐标为．故答案为：
13. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
【答案】
【解析】当n＝1时，；
当n ≥2时，
当n＝1时，，所以故答案为：
14. 已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．
如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小
直线AB方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，
又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，
在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12=36000．
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73