2025届江苏苏州中考真题试卷数学试卷【含答案】

这是一份2025届江苏苏州中考真题试卷数学试卷【含答案】，共41页。试卷主要包含了0317 × 107 ． 故选，5 = 27等内容，欢迎下载使用。
2025 年苏州市初中学业水平考试试卷
数学
注意事项：
1 ．本试卷共 27 小题，满分 130 分，考试时间 120 分钟；
2 ．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用 0.5 毫米黑 色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名 是否与本人的相符；
3 ．答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔 答题；
4 ．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试 卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相 对应的位置上．
1 ．下列实数中，比 2 小的数是( )
A ．5 B ．4 C ．3 D ．-1
2 ．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是( )
A．
B．
C．
D．
3 ．据人民网消息 2025 年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达 63252000 万元，其中， 出品 40317000 万元，创历史同期新高，同比增长11.5% ．数据 40317000 用科学记数法可表 示为( )
A ．0.40317 × 108 B ．4.0317 × 107 C ．40.317 × 106 D ．40317 × 103
4 ．下列运算正确的是( )
A ．a . a3 = a3 B ．a6 ÷ a2 = a3 C ．(ab)2 = a2b2 D ．(a3 )2 = a5
5 ．如图，在A，B 两地间修一条笔直的公路，从 A 地测得公路的走向北偏东70° . 若A，B 两地同时开工，要使公路准确接通，则上a 的度数应为( )
A ．100° B ．105° C ．110° D ．115°
6 ．一只不透明的袋子中，装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从
中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ，则红球的个数为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
7 ．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度 v(m / s) 与温度t (°C) 部分对应数值如下表：
研究发现v，t 满足公式v = at + b （ a，b 为常数，且a ≠ 0 ）．当温度 t 为15°C 时，声音传播的 速度 v 为( )
A ．333m / s B ．339m / s C ．341m / s D ．342m / s
8 ．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接BE ，将 △ABE 沿BE 翻折，得到
△A¢BE ，连接 A¢C，A¢D ，则下列结论不正确的是( )
...
温度t (°C)
-10
0
10
30
声音传播的速度v(m / s)
324
330
336
348
A ．A¢D∥BE B ．A¢C = A¢D
C ． △A¢CD 的面积=△A¢DE 的面积 D ．四边形A¢BED 的面积=△A¢BC 的面积
二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．把答案直接填在答题卡
相对应的位置上．
9 ．因式分解：x2 - 9 = ．
10 ．某篮球队在一次联赛中共进行了 6 场比赛，得分依次为：71，71，65，71，64，66 ．这组数据 的众数为 ．
11 ．若y = x + 1，则代数式2y- 2x - 3 的值为 ．
12．过A, B 两点画一次函数y= -x + 2 的图像，已知点 A 的坐标为(0, 2) ，则点 B 的坐标可以 为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可）
13 ．已知x1, x2 是关于 x 的一元二次方程x2 + 2x - m = 0的两个实数根，其中x1 = 1，则
x2 = ．
14 ．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有 28 个回转式太空舱全景轿厢，其 示意图如图所示．该摩天轮高128m （即最高点离水面平台 MN的距离），圆心 O 到MN的 距离为68m ，摩天轮匀速旋转一圈用时30min ．某轿厢从点 A 出发，10min 后到达点 B，此 过程中，该轿厢所经过的路径（即 ）长度为 m ．（结果保留 τ )
15 ．如图，上MON = 60° , 以 O 为圆心，2 为半径画弧，分别交OM，ON 于A，B 两点，再 分别以A，B 为圆心， 、为半径画弧，两弧在上MON 内部相交于点 C，作射线OC ，连接 AC，BC ，则 tan 上BCO = ．（结果保留根号）
16 ．如图，在 △ABC 中，AC = 3，BC = 2，上C = 60°, D 是线段BC 上一点（不与端点 B，C
重合），连接 AD ，以 AD 为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE ，线段DE 与线段AC 交于 点 F，则线段CF 长度的最大值为 ．
三、解答题：本大题共 11 小题，共 82 分．把解答过程写在答题卡相对应的位 置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用 2B 铅笔 或黑色墨水签字笔．
17 ．计算
18 ．解不等组
19 ．先化简，再求值 其中x = -2 ．
20．为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动， 建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C 共 3 部电影，甲、乙 2 位同学分别从中 任意选择 1 部电影观看．
(1)甲同学选择 A 电影的概率为________；
(2)求甲、乙 2 位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） ..
21 ．如图，C 是线段AB 的中点，上A = 上ECB, CDⅡBE ．
(1)求证： △DAC≌△ECB ；
(2)连接DE ，若 AB = 16 ，求 DE 的长．
22 ．随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化 趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型 辅助学习的时间（用 x 表示，单位：min ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘
制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表
根据提供的信息回答问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
(2)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）；
(3)该校九年级共有 750 名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模
型辅助学习的时间不少于60 min 的学生人数．
...
23 ．如图，一次函数y = 2x + 4 的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A ，B 两点，与反比例函数
y = (k ≠ 0，x > 0) 的图象交于点 C，过点B 作x 轴的平行线与反比例函数y = (k ≠ 0，x > 0) 的图象交于点 D，连接CD ．
组别
时间x(min)
频率
A
20 ≤ x < 40
0.16
B
40 ≤ x < 60
0.24
C
60 ≤ x < 80
0.30
D
80 ≤ x < 100
0.20
E
100 ≤ x ≤ 120
0.10
合计
1
(1)求 A ，B 两点的坐标；
(2)若△BCD 是以BD 为底边的等腰三角形，求 k 的值．
24 ．综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图， △ABC 中， 上ACB = 90°, CA = CB ， △CDE 中， 上DCE = 90°, 上E = 30°, AB = CE = 12cm ．
【观察感知】
（1）如图①, 将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE 交于点 F，求上AFD 的度数和线段AD 的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持 △CDE 不动，把△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转一定的角度， 使得点 A 落在边DE 上（如图@）．
①求线段AD 的长；（结果保留根号）
@判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由．
25 ．如图，在四边形ABCD 中，BD = CD，上C = 上BAD ．以AB 为直径的ΘO 经过点 D，且 与边CD 交于点 E，连接 AE，BE ．
(1)求证：BC 为ΘO 的切线；
(2)若AB = ，sin 上AED = ，求 BE 的长．
26 ．两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC 区域工作，上ABC = 90°, AB = 40m ，
BC = 30m ，直线 BD 为生产流水线，且BD 平分△ABC 的面积（即 D 为AC 中点）．机器人 甲从点 A 出发，沿A → B 的方向以v1 (m / min) 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，
机器人乙从点 B 出发，沿B → C → D 的方向以v2 (m / min) 的速度匀速运动，其所在位置用 点 Q 表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t(min) ，记点 P 到BD 的距离（即 垂线段PP¢ 的长）为d1 (m) ，点 Q 到BD 的距离（即垂线段QQ¢ 的长）为d2 (m) ．当机器人 乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1 = 7.5m ，d2 与 t 的部分对应数值如下 表(t1 < t2 )：
(1)机器人乙运动的路线长为________m；
(2)求t2 - t1 的值；
t(min)
0
t1
t2
5.5
d2 (m)
0
16
16
0
(3)当机器人甲、乙到生产流水线BD 的距离相等（即d1 = d2 ）时，求 t 的值．
27．如图，二次函数y = -x2 + 2x + 3 的图像与 x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，作直线BC，M (m, y1 )，N (m + 2, y2 ) 为二次函数y = -x2 + 2x + 3 图像上两点．
(1)求直线BC 对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数 m 使得y1 + 2y2 = 10 ．若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理
由．
(3)已知 P 是二次函数y = -x2 + 2x + 3 图像上一点（不与点M，N 重合），且点 P 的横坐标为 1- m ，作△MNP ．若直线BC 与线段MN，MP 分别交于点D，E ，且 △MDE 与△MNP 的面
积的比为1: 4，请直接写出所有满足条件的 m 的值．
1 ．D
【分析】比较各选项与 2 的大小关系，选出比 2 小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解： A 、 5 > 2 ，不符合条件．
B 、 4 > 2 ，不符合条件．
C 、 3 > 2 ，不符合条件．
D 、 -1 < 2 ，符合条件． 故选：D．
2 ．A
【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可．
本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键．
【详解】解： 根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何 体是圆锥，
故选：A．
3 ．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法解题即可．
【详解】解：40317000 = 4.0317 × 107 ． 故选：B．
4 ．C
【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可．
本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选 项是否符合相关运算法则．
【详解】A. a . a3 = a1+3 = a4 ，但选项 A 结果为a3 ，错误．
B. a a a a6262 4÷==- ，但选项 B 结果为a3 ，错误．
C. (ab)2 = a2b2 ，符合积的乘方法则，正确．
D. (a3 )2 = a3×2 = a6 ，但选项 D 结果为a5 ，错误．
故选：C．
5 ．C
【分析】此题考查平行线的性质，方位角 ．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即 可得解．
【详解】解：如图：
由题意得，a Ⅱb ， ∴ 70° + a = 180° ,
∴ a = 110° 故选：C．
6 ．B
【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有x 个，根据摸到白球的概率公式列方程求解．
【详解】解：设红球有x 个，则袋中总球数为(x + 3) 个，
∴摸到白球的概率为 ， 根据题意得 ，
解得：x = 2 ，
因此，红球的个数为 2 个． 故选：B．
7 ．B
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知 识是解题的关键．
根据表格数据，确定一次函数v =at + b 中的系数 a 和常数项 b，再代入 t = 15 计算 v 的值， 即可解题．
【详解】解：Q v，t 满足公式v = at + b ，
: 由表格数据可得
解得 即v = 0.6t + 330 ，
当温度 t 为15°C 时，v = 0.6 × 15 + 330 = 339m / s ， 故选：B．
8 ．D
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点A¢ 作FG Ⅱ AB ，分别交 AD 、BC 于点F 、G ，由折叠的性质得 上AEB = 上A¢EB ，求得
DE = A¢E ，推出 上EDA = 上EA¢D ，由 上AEA¢ 是 △A¢ED 的外角，可求得上AEB = 上EDA¢ ,即 可判断选项 A；设 AB = BC = CD = DA = 10 ，DF = CG = x ，则 EF = 5 - x ，BG = 10 - x ，证 明 △EA¢F ∽△A¢BG ，利用相似三角形的性质列式求得 x =2 ，求得DF = CG = 2 ，A¢F = 4 ，
A¢G = 6 ，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项．
【详解】解：过点 A¢ 作FG Ⅱ AB ，分别交 AD 、BC 于点F 、G ，
由折叠的性质得上AEB = 上A¢EB ，AE = A¢E ， ∵E 为边AD 的中点，
: AE = DE ，
: DE = A¢E ，
: 上EDA = 上EA¢D ，
∵ 上AEA¢ 是 △A¢ED 的外角， : 上AEA¢ = 上EDA + 上EA¢D ， : 上AEB = 上EDA¢ ,
: A¢D ∥BE ，故选项 A 正确，不符合题意； ∵正方形ABCD ，
: AB = BC = CD = DA ，上BAE = 上ABC = 上BCD = 上CDE = 90° , 设AB = BC = CD = DA = 10 ，
∵E 为边AD 的中点， : AE = DE = 5 ，
由折叠的性质得上BAE = 上BA¢E = 90° , AE = A¢E = 5 ，AB = A¢B = 10 ， ∵ FG ⅡAB ，
:四边形ABGF 和DCGF 为矩形，
: FG = AB = 10 ，上EFA¢ = 上A¢ GB = 上EA¢B = 90° , 设DF = CG = x ，则 EF = 5 - x ，BG = 10 - x ，
: 上EA¢F = 90° - 上GA¢B = 上A¢BG ， : △EA¢F ∽△A¢BG ，
∵ A¢F + A¢ G = FG = 10 ，
解得x = 2 ，
: DF = CG = 2 ，A¢F = 4 ，A¢G = 6 ，
,
故选项 B 正确，不符合题意；
∵△A¢CD 的面积 △A¢DE 的面积 :△A¢CD 的面积=△A¢DE 的面积，故选项 C 正确，不符合题意；
∵四边形A¢BED 的面积等于 △A¢DE 的面积+△A¢BF 的面积= 10 + × 5 × 10 = 35 ， △A¢BC 的面积
:四边形A¢BED 的面积 ≠△A¢BC 的面积，故选项 D 不正确，符合题意；
故选：D．
9 ．(x + 3)(x - 3)
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用a2 - b2 = (a + b)(a - b) 分解因式 即可.
【详解】解：x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)， 故答案为：(x + 3)(x - 3)
10 ．71
【分析】本题考查了众数．一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此即可解 答．
【详解】解：数据 71，71，65，71，64，66 中，71 出现的次数最多，所以这组数据的众数为 71； 故答案为：71．
11 ．-1
【分析】本题考查代数式求值， 根据y = x + 1，得到y - x = 1，整体代入法求出代数式的值即 可．
【详解】解：: y = x + 1， : y - x = 1，
: 2y - 2x - 3 = 2 (y - x) - 3 = 2 × 1- 3 = -1；
故答案为：-1．
12 ．(1,1) （答案不唯一）
【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式， 可以令x = 1 ，求出函数值，进而得到点 B 的坐标即可．
【详解】解：: y = -x + 2 ， :当x = 1 时，y = -1 + 2 = 1 ， :点 B 的坐标可以为(1,1) ；
故答案为：(1,1) （答案不唯一）
13 ．-3
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到 x1 + x2 = -2 ，结合 x1 = 1，进 行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：: x1, x2 是关于 x 的一元二次方程x2 + 2x - m = 0的两个实数根，
: x1 + x2 = -2 ，
∵ x1 = 1，
: x2 = -3 ；
故答案为：-3 ．
14 ．40τ
【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径， 再求出上AOB = 120° ,最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵最高点离水面平台MN的距离为128m ，圆心 O 到MN的距离为68m ， :摩天轮的半径为128 - 68 = 60 (m)，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时30min ，轿厢从点 A 出发，10min 后到达点 B，
:该轿厢所经过的路径长度为：
故答案为：40τ .
15 ．
【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线 的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接AB ，交OC 于点D ，先得出OC 垂直平分AB ，再证出△AOB 是等边三角形，则可得BD = 1，然后利用勾股定理可得
CD = /5 ，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接 AB ，交OC 于点D ，
由题意得：OA = OB = 2 ，AC = BC = 、 ， : OC 垂直平分AB ，
∵ 上MON = 60° ,
: △AOB 是等边三角形， : AB = OA = 2 ，
: BD = 1，
:在Rt△BCD 中，tan 上
故答案为： ．
【分析】本题主要考查了解直角三角形， 相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂 线段最短，过点A 作AH丄 BC 于H ，解 Rt△AHC 得到 证明△DAC∽△FAD ， 可得 ，根据 CF = AC - AF 可知当AF 有最小值时，CF 有最大值，当
AD ^ BC 时，AD 有最小值，即AF 有最小值，此时点 D 与点 H 重合，可求出AF 的最小值
为 ，则CF 的最大值为 ．
【详解】解：如图所示，过点 A 作AH丄 BC 于H ，
在Rt△AHC 中， ∠C = 60°, ∠AHC = 90°, AC = 3 ，
∵ △ADE 是等边三角形， : 上ADE = 60° = 上C ，
又∵上DAC = 上FAD ， :△DAC∽△FAD ，
: CF = AC - AF ，
:当AF 有最小值时，CF 有最大值，
:当AD 有最小值时，AF 有最小值，
:当AD ^ BC 时，AD 有最小值，即AF 有最小值，此时点 D 与点 H 重合， : AD 的最小值为 ，
: AF 的最小值为 : CF 的最大值为
故答案为： ．
17 ．10
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值， 进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式 = 5 + 9 - 4 = 10 ．
18 ．x > 3
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取 大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
解 解不等式3x +1 > x - 3 ，得 x > -2 ．
解不等式 得x > 3 ．
:不等式组的解集是x > 3 ．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则进行化简，再代入求值．
解：原式
x
=
x + 1
,
当x = -2 时，原式= = 2 ．
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识 点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从 中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）Q 现有A，B，C 共 3 部电影，
: 甲同学选择 A 部电影的概率是 ． 故答案为： ；
（2）用树状图或利用表格列出所有等可能的结果：
甲同学选择电影
乙同学选择电影
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
那么总结果有 9 种，甲、乙 2 位同学选择不同电影的结果有 6 种，
:P （甲、乙 2 位同学选择不同电影） ．
21 ．(1)详见解析 (2)8
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， 平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定 定理和性质，是解题的关键：
（1）中点得到AC = BC ，平行线的性质，得到上ACD = 上B ，利用ASA 证明△DAC≌△ECB 即可；
（2）根据△DAC≌△ECB ，得到 CD = BE ，进而得到四边形CBED 为平行四边形，进而得 到DE = BC ，即可得出结果．
【详解】（1）证明：QC 是线段AB 的中点，
QCD∥BE ，
:上DCA = 上B ．
在△DAC 和 △ECB 中，
:△DAC≌△ECB(ASA) ．
（2）Q AB = 16 ，C 是线段AB 的中点，
Q△DAC≌△ECB ，
: CD = BE ．
又QCD∥BE ，
:四边形BCDE 是平行四边形， :DE = BC = 8 ．
22 ．(1)图见解析 (2)C
(3)该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min 的学生人数约为 450 人
【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提， 解题的关键是正确的从表中读出有关的信息．
（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出 D 组人数， （2）50 个人的中位数是第 25 和 26 人的平均数；
（3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60 min 的学生 的频率即可．
解 ．
D 组人数：50 - 8 -12 -15 - 5 = 10 人．
如图为所求：
（2）解：总人数有 50 人，从小到大排列后，中位数为第 25 人和 26 人的学习时间的平均数， 从统计图，可知，A 组 8 人，B 组 12 人，C 组 15 人，那么第 25 人和 26 人的数据落在C 组， 故答案为：C；
（3）解：0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6 ， 750 × 0.6 = 450 （人）．
答：该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min 的学生人数约为 450 人．
23 ．(1) A(-2, 0) ，B(0, 4)
(2) k = 16
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题， 等腰三角形的三线合一性质，一次函 数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点 的坐标是解题的关键．
（1）对于一次函数y = 2x + 4 ，分别令 y = 0 ，和 x = 0 ，即可求得答案；
（2）过点 C 作CE 丄 BD ，垂足为 E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得BE = DE ，于 是可逐步求得点 D 和点 C 的坐标，再代入y = 2x + 4 ，即可求得答案．
【详解】（1）解：令 y = 0 ，则 2x + 4 = 0 ， 解得x = -2 ，
: 点 A 的坐标为(-2, 0) ， 令 x = 0 ，则 y = 4 ，
: 点 B 的坐标为(0, 4) ；
（2）解：如图，过点 C 作CE 丄 BD ，垂足为 E， QCB = CD ，CE 丄 BD ，
:BE = DE ，
令y = 4 ，则4 = ，
k
:x = ， 4
: 点 D 的坐标为(çè k, 4 ， : 点 C 的坐标为(çè k,8 ，
Q 点 C 在一次函数y = 2x + 4 的图象上，
: k + 4 = 8 ， 解得k = 16 ．
24 ．（1）上AFD = 15° , AD = (6 - 4)cm ；（2）①AD = (6 + 2)cm ；② AB 丄 DE ， 理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识， 熟练掌握解直角 三角形的方法是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的性质可得 上BAC = 上ABC = 45° ,再求出 上CDE = 60° ,然后根据 三角形的外角性质即可得上AFD = 15° ；最后根据解直角三角形可得AC, CD 的长，根据线段 的和差即可得；
（2）①过点C 作CG 丄 DE ，垂足为G ，先解直角三角形可得CG, DG 的长，再利用勾股定 理可得AG 的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得上CAG = 上ACG = 45° ,则可得 上DAB = 90° ,由此即可得． 【详解】解：（1）: △ABC 中，上ACB = 90°, CA = CB ，
: 上BAC = 上ABC = 45° ,
: △CDE 中，上DCE = 90°, 上E = 30° , : 上CDE = 60° ,
: 上AFD = 上CDE - 上A = 60° - 45° = 15° ;
在Rt△ABC 中，AC = AB . sin 上ABC = 12 × = 6(cm)， 在Rt△CDE 中，CD = CE . tan E = 12 × = 4(cm) ，
: AD = AC - CD = (6 - 4)cm ．
（2）①如图，过点C 作CG 丄 DE ，垂足为G ，
Q△CDG 中，上CGD = 90°, 上CDE = 60°, CD = 4 cm ，
:DG = CD . cs 上CDE = 2 cm, CG = CD . sin 上CDE = 6cm ．
Q△CGA 中，上CGA = 90°, CA = 6 cm, CG = 6cm ．
: AG = = 6cm ，
: AD = AG + DG = (6 + 2)cm ．
② AB 丄 DE ，理由如下：
:在Rt△CGA 中，上CGA = 90°, AG = CG = 6cm ， : 上CAG = 上ACG = 45° ,
又: 上BAC = 45° ,
: 上DAB = 上CAG + 上BAC = 45° + 45° = 90° ,
: AB 丄 DE ．
25 ．(1)详见解析
【分析】（1）只要证明 上CBA = 90° ,即可证明 BC 为eO 的切线；
（2）过点D 作DF 丄 BC ，垂足为F，在△ABD 中，上上 求得AD = 1 ，BD = 3 ，在 △BDF 中，上BFD = 90° , BD = 3 ，sin 上 求得 再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得上CEB = 上C ，据此求解即可．
【详解】（1）证明：: BD = CD ， : 上C = 上DBC ，
又: 上C = 上BAD ，
: 上BAD = 上DBC ， : AB 为eO 的直径， : 上ADB = 90° ,
: 上BAD + 上DBA = 90° ,
: 上DBC + 上DBA = 90° ,即 上CBA = 90° , : AB 丄 BC ，
: BC 为eO 的切线；
（2）解：如图，过点 D 作DF 丄 BC ，垂足为 F，
: AD = AD ，
: 上ABD = 上AED ，
:△ABD 中，上ADB = 90° , AB = ，sin 上 : AD = 1 ，
: BD = 3 ，
: DF 丄 BC ，AB 丄 BC ， : DF ∥ AB ，
: 上BDF = 上ABD ，
: △BDF 中，上BFD = 90° , BD = 3 ，sin 上BDF = ，
10
: BD = CD ，DF 丄 BC ，
:四边形ABED 内接于eO ， : 上DAB + 上BED = 180° ,
: 上C = 上BAD ，
: 上CEB = 上C ，
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应 用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
26 ．(1)55 (2)
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求得 BD = CD = AD = 25 ，得到 上ABD = 上BAC ，
上DBC = 上C ，推出sin 上ABD = sin 上BAC = ，sin 上DBC = sin C = ，分当点 Q 在BC 上和 点 Q 在CD 上时，两种情况讨论，分别求得t1 = 2 ，t2 = ，据此求解即可；
（3）根据题意求得d1 = 24 - 3t ，分当点 Q 在BC 上和点 Q 在CD 上时两种情况讨论，列式 一元一次方程方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵ 上ABC = 90°, AB = 40m ，BC = 30m ，
∵D 为AC 中点，
∵ BC + CD = 30 + 25 = 55m ，
:机器人乙运动的路线长为55m ， 故答案为：55；
（2）解：根据题意，得 ∵ △ABC 中，上ABC = 90° , D 为AC 中点， : BD = CD = AD = 25 ，
: 上ABD = 上BAC ，上DBC = 上C ，
: sin 上ABD = sin 上BAC = ，sin 上 当点 Q 在BC 上时，d2 = BQ . sin 上DBC = 10t× = 8t ， :8t1 = 16 ，解得 t1 = 2 ，
当点 Q 在CD 上时，作AH丄 BD ，垂足为 H（如图），
则AH = AB . sin 上ABD = 40 × = 24 ．
∵ 上CDB = 上ADH ，
: d2 = QD . sin 上CDB = (55 -10t) × 24 = 264 - 48 t ，
25 5 5
解得
（3）解：当 t = 5.5 时，d1 = 7.5 ，
此时， : AP = AB - BP = 40 -12.5 = 27.5 ，
当点 Q 在BC 上时，由d1 = d2 ，得 24 - 3t = 8t ，
解得 ．
当点 Q 在CD 上时，由d1 = d2 ，得 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用， 勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关 键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
27 ．(1) y = -x + 3
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似 与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定 B 、C 坐标，再用待定系数法，将两点坐 标代入设好的一次函数表达式，求解出直线BC 的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出M 、N 两点的函数值y1 、y2 ，进而得出y1 + 2y2 的 表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数m 使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出 P 点坐标，结合坐标关系得出角的度 数，推出PN Ⅱ BC ，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出m 的值．
【详解】（1）解：∵二次函数y = -x2 + 2x + 3 的图像与 x 轴交于A，B 两点， :令x = 0 ，则 y = 3 ，
: 点 C 的坐标为(0, 3) ．
令y = 0 ，则 -x2 + 2x + 3 = 0 ．
解得x = -1 ，或 x = 3 ， :点 B 的坐标为(3, 0) ．
设直线BC 对应函数的表达式为y = kx + b ，由题意，得
解得
:直线BC 对应函数的表达式为y = -x + 3 ．
（2）不存在实数 m 使得y1 + 2y2 = 10 ，理由如下：
方法一：QM (m, y1 ), N (m + 2, y2 ) 为二次函数y = -x2 + 2x + 3 图像上两点， :y1 = -m2 + 2m + 3 ，
y2 = -(m + 2)2 + 2(m + 2) + 3 = -m2 - 2m + 3 ．
:y1 + 2y2 = -m2 + 2m + 3 + 2(-m2 - 2m + 3) = -3m2 - 2m + 9 ． 配方，得
:当 时，y1 + 2y2 有最大值为9 ．
:不存在实数 m 使得y1 + 2y2 = 10 ．
方法二：由方法一，得 y1 + 2y2 = -3m2 - 2m + 9 ．
当y1 + 2y2 = 10 时，-3m2 - 2m + 9 = 10 ，即 3m2 + 2m +1 = 0 ．
Q Δ = 4 -12 = -8 < 0 ， :方程没有实数根．
:不存在实数 m 使得y1 + 2y2 = 10 ．
或 解答如下：
如图，作NH Ⅱ y 轴，交 x 轴于点 H，交 BC 于点N¢ ,
作PQ 丄 NH ，垂足为 Q，作MM ¢ Ⅱ y 轴，交BC 于点M ¢ ,则 MM ¢ Ⅱ NN¢ . 当x = 1- m 时，y = -(1- m)2 + 2(1- m) + 3 = -m2 + 4 ．
: 点 P 的坐标为(1- m, -m2 + 4) ．
Q 点 N 的坐标为(m + 2, -m2 - 2m + 3)，
: 点 Q 的坐标为(m + 2, -m2 + 4)，点 H 的坐标为(m + 2, 0) ， 点N¢ 的坐标为(m + 2, -m +1) ．
:NQ = PQ = 2m +1 ，BH = HN¢ = -m +1
¢
:上PNQ = 上BNH = 45° .
:PN Ⅱ BC ，
:△MDE∽△MNP ．
:MD = MN ，即 MD = ND ．
Q MM ¢ Ⅱ NN¢ .
:△MM D¢ ∽△NN¢D
即MM ¢ = NN¢ . Q 点 M 的坐标为(m, -m2 + 2m + 3)，
: 点M ¢ 的坐标为(m, -m + 3) ．
:m2 - 3m = -m2 - m + 2 ，即 m2 - m -1 = 0 ． 解得 或