初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线优质ppt课件

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在△DOP和△COP中，由∠PDO=∠PC0=90°，∠DOP=∠COP，OP=OP，通过“       ”，可以证明△DOP≌△COP，所以PC=PD。
如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，垂足分别为CD.PC与PD一定相等吗?如何证明?
∵ OP是∠AOB的平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等。
如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线性质定理的逆定理：
角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB，
∴点Q在∠AOB的平分线上 . （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）.
例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．
证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N．∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC．∴PF＝PN（角平分线的性质定理）.同理PF＝PM．∴ PM＝PN．∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）.
如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？
1．如图，判断△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线的交点是否在∠C的平分线上，并证明你的结论.
解：△ABC的外角平分线的交点在∠C的平分线上.证明：如图，∠BAD，∠ABE的平分线OA、OB交于点O．过O点作OF⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CE，垂足分别为F，M，N.∵点O在∠BAD的平分线上，OF⊥AD， OM⊥AB.∴OF＝OM.同理OM＝ON.∴OF＝ON.∵OF⊥CD，ON⊥CE，∴点O在∠ACB的平分线上.　
2、到三角形三边距离相等的点是  （　　 ）A、三边上高线的交点　　 B、三边上中线的交点C、三边的垂直平分线的交点　　　 D、三个内角平分线的交点
3、如图,直线AB,CD相交于点O,点M在OD上,在∠AOD的内部有一点N,现要在∠AOD的内部找一个点P,使点P到AB,CD的距离相等,且使PM=PN,用尺规作出点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,点P即为所求.
这一点一定在∠AOD的平分线上,还在点M,N连线的垂直平分线上.
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：D是BC的中点．