安徽省合肥市四十八中2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷（无答案）

这是一份安徽省合肥市四十八中2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷（无答案），共20页。试卷主要包含了下列各式中，正确的是，若x＝0是关于x的一元二次方程，如图，在平面直角坐标系中，A，《九章算术》中有一题等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．m＝±1B．m＝0C．m＝1D．m＝﹣1
4．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣6）2＝14
5．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
6．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
8．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
9．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是（ ）
A．（3x）2+（7x）2＝102B．（3x）2+102＝（7x）2
C．（3x）2+102＝（7x﹣10）2D．（3x+10）2+102＝（7x）2
10．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（ ）
A．定值4B．定值4C．不确定D．定值2
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
13．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣mx+m上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1 y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
14．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 ．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（﹣2，0），C（a，b）为平面直角坐标系内一点，∠ABC＝90°，BA＝BC，则ab的值为 ．
16．（10分）设实数a，b满足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8，求的值 ．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（10分）计算：． （2）解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
20．（8分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
（2）请写出第n个方程和它的根．
21．（10分）我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2020年该类电脑显卡的成本是200元/个，2021年与2022年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2022年该电脑显卡的成本降低到162元/个．
（1）若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2022年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
22．（10分）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
2022年04月26日104****7449的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6
【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质和立方根的概念即可求出答案．
【解答】解：A、＝3，故A不符合题意；
B、＝3，故B不符合题意；
C、≠3，故C不符合题意；
D、2﹣＝，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、立方根，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
3．若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．m＝±1B．m＝0C．m＝1D．m＝﹣1
【分析】先把x＝0代入一元二次方程得m2﹣1＝0，解方程得到m＝1或m＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，
解得m＝1或m＝﹣1，
因为m﹣1≠0，
所以m的值为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣6）2＝14
【分析】先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+5＝0，
∴x2﹣6x＝﹣5，
则x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．
5．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10，
∴这个多边形是十边形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和＝（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．
6．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ACB的度数．
【解答】解：根据勾股定理可以得到：BC＝AB＝，AC＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
即AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
7．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝1，OB＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝+1，
∵1＜＜2，
∴2＜1＜3，
∴点C介于2到3之间．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
8．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，从而得出符合题意的方程．
【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
9．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是（ ）
A．（3x）2+（7x）2＝102B．（3x）2+102＝（7x）2
C．（3x）2+102＝（7x﹣10）2D．（3x+10）2+102＝（7x）2
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x，然后利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x，
甲共行AC+BC＝7x，
∵AC＝10，
∴BC＝7x﹣10，
又∵∠A＝90°，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解．
10．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（ ）
A．定值4B．定值4C．不确定D．定值2
【分析】连接QG．解直角三角形求出DF，再证明QM+QN＝DF，即可解决问题．
【解答】解：连接QG．
∵DG：GE＝1：3，
∴可以假设DG＝k，EG＝3k，
∵GF＝EG，∠D＝90°，
∴FG＝3k，DF＝＝2k，
∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2，
∴48＝16k2+8k2，
∴k＝或﹣（舍弃），
∴DF＝4，
∵S△EFG＝•EG•DF＝•EG•QM+•GF•QN，
∴QM+QN＝DF＝4，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥﹣ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2x+1≥0，
解得，x≥﹣，
故答案为：x≥﹣．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
12．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 12 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
13．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣mx+m上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1 ＞ y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵m＞0，
∴反比例函数y＝＝﹣mx+m图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 （4，） ．
【分析】过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．
【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cs∠ABG＝＝＝，
∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
【点评】此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG的长是解决此题关键．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（﹣2，0），C（a，b）为平面直角坐标系内一点，∠ABC＝90°，BA＝BC，则ab的值为
【分析】讨论：当点C在x轴上方．作CD⊥x轴，OA＝5，OB＝2，由于∠ABC＝90°，利用等角的余角相等得到∠BAO＝∠CBD，然后根据“AAS”可判断△ABO≌△BCD，则BD＝OA＝5，CD＝OB＝2，于是C点坐标为（﹣7，2），得到ab＝﹣14；当点C在x轴下方．作CE⊥x轴，与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE，得到BE＝OA＝5，CE＝OB＝2，则OE＝5﹣2＝3，所以C点坐标为（3，﹣2），得到ab＝﹣6．
【解答】解：当点C在x轴上方．如图，作CD⊥x轴，
∵A点的坐标为（0，5），B的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝5，OB＝2，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝OA＝5，CD＝OB＝2，
∴C点坐标为（﹣7，2），
∴ab＝﹣7×2＝﹣14；
当点C在x轴下方．如，作CE⊥x轴，
与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE＝OA＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝5﹣2＝3，
∴C点坐标为（3，﹣2），
∴ab＝3×（﹣2）＝﹣6．
故答案为：﹣6或﹣14．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质．
16．设实数a，b满足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8，求的值
【分析】根据完全平方公式以及配方法对该分式进行变形，然后将a+b与ab的值代入即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a2b2+a2+2ab+b2＝40，
（a+b）2+a2b2＝40，ab+a+b＝8，
令a+b＝m，ab＝n，
∴m2+n2＝40，m+n＝8，
∴m2+（8﹣m）2＝40，
∴解得：m＝2或m＝6，
∴n＝6或n＝2，
∴a+b＝2，ab＝6或a+b＝6，ab＝2；
设a、b是方程x2﹣mx+n＝0的两个实根，
∴Δ＝m2﹣4n，
当m＝2，n＝6时，
Δ＝4﹣24＝﹣20，
当m＝6，n＝2时，
Δ＝36﹣8＞0，
∴a+b＝6，ab＝2；
∴原式＝＝，
当a+b＝6，ab＝2时，
原式＝＝8．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（10分）计算：．（2）解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
（2）先移项得到（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝3+2
＝5．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+﹣1
＝﹣；
（2）（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，
x+3+1﹣2x＝0或x+3﹣1+2x＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣．
18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）先把DE绕E点逆时针旋转90°得到EQ，则△DEQ为等腰直角三角形，然后取DQ的中点F，则△DEF满足条件，最后利用勾股定理计算PF．
【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
FP＝＝．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
20．（8分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
（2）请写出第n个方程和它的根．
【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；
（2）利用因式分解法得出符合题意的值．
【解答】解：（1）由题意可得：k＝﹣15，
则原方程为：x2﹣15x+56＝0，
则（x﹣7）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝7，x2＝8；
（2）第n个方程为：x2﹣（2n﹣1）x+n（n﹣1）＝0，
（x﹣n）（x﹣n+1）＝0，
解得：x1＝n﹣1，x2＝n．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．
21．（10分）我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2020年该类电脑显卡的成本是200元/个，2021年与2022年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2022年该电脑显卡的成本降低到162元/个．
（1）若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2022年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2022年该类电脑显卡的出厂价＝2020年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（216.2﹣m﹣162×110%）＝（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1120．
整理，得m2﹣28m+180＝0．
解得m1＝10，m2＝18．
∵为了减少库存，
∴m＝18，
答：单价应降低18元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【分析】（1）正方形ABCD的面积直接计算等于边长平方，间接计算等于4个全等三角形面积与小正方形面积之和，从而得出等式，化简得证；
（2）分为EF＞DF和EF＜DF两种情形，二者之差是BC的长．
【解答】解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），
证明如下：
如图1，
∵△ADF≌△BAG≌△BCH≌△DCE，
∴AF＝FG＝GH＝EF＝a，AG＝BH＝CE＝DF＝b，
∴EF＝FG＝GH＝EH＝（b﹣a），
∴S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△DCE＝（b﹣a）2+4×＝a2+b2
∵S正方形ABCD＝CD2＝c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）设EF＝x，则DF＝DE﹣EF＝12﹣x，
如图2，
当EF＞DF时，
∴x﹣（12﹣x）＝5，
∴x＝，
如图3，
当EF＜DF时，
∴（12﹣x）﹣x＝5，
∴x＝，
∴综上所述：EF＝或．