安徽省合肥市包河区2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试卷

这是一份安徽省合肥市包河区2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且
C 且D.
5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C D.
6. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 1
7. 某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D
8. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A. 5cmB. 4cmC. D. 15cm
10. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ）
A. 49B. 28C. 21D. 14
二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11. 二次根式有意义条件是_______．
12. 最简二次根式与是同类二次根式，则___________．
13. 如图，在一块长、宽矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：___________
14. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，
（1）线段AB的长度为_________；（2）△APB的面积为___________．
15. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形， 连接，分别交于点． 已 知， 正方形 的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为 ________
三、解答题：
16. （1）计算：．
（2）计算：．
17. 解方程：
（1）；
（2）
18. 某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元．
（1）该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率；
（2）如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元的月份．
19. 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地3米、与宿舍外墙的距离是6米．请问云梯够长吗？说明理由．

20. 已知关于的一元二次方程.
（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根，满足，求的值.
21. 如图①，在中，，O是的中点，P、Q分别是上一点，连接，已知．
（1）过B作交延长线于点D．
①求证：O为中点 ；
②求证：；
（2）如图②，若P、Q分别在的延长线上，其余条件不变，（1）②中的结论是否成立？若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论．
2024-2025学年第二学期阶段性巩固检测 八年级数学
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，解题关键是掌握最简二次根式的概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，原式不是最简二次根式，不符合题意；
B、，原式不是最简二次根式，不符合题意；
C、，原式不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意，
故选D．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键．
根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意；
B． ，故选项B错误，不符合题意；
C． ，故选项C错误，不符合题意；
D． ，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可．
【详解】解：、因为，所以不是勾股数；
、因为，所以不是勾股数；
、因为，所以不是勾股数；
、因为，又都是正整数，是勾股数，
∴选项D为勾股数，
故选：D．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故选：C．
5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
6. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：A．
7. 某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“三天累计票房10.82亿元”求解即可得出答案．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解题意，找到其中蕴含的相等关系．
8. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可．
详解】解：
，
是直角三角形，
，
是直角三角形，
，
是直角三角形，
，
不是直角三角形，
所以是直角三角形，但不是直角三角形，
故选：D．
9. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A 5cmB. 4cmC. D. 15cm
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意先画出几何体的侧面展开图，分两种情况，利用勾股定理即可求解，再进行比较．
【详解】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图，
过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接，
根据题意可知：，，
在中，根据勾股定理得：，
②如图2，为圆柱体侧面展开图，
过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接，
根据题意可知：，，
在中，根据勾股定理得：，
，
小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为，
故选：D．
10. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ）
A. 49B. 28C. 21D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图形面积得到相应等式，从而进行计算．证明，得到，再证明，从而推出，化简得到，再根据，得到，结合两式可得，从而计算结果．
【详解】解：在与中，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
化简得：①，
∵，
∴②，
，得：，
∴．
故选：C．
二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11. 二次根式有意义的条件是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义则被开方数必须大于等于零．
根据题意得出，得到．
【详解】解：由题意得，
∴，
故答案为： ．
12. 最简二次根式与是同类二次根式，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式是解题关键．根据同类二次根式的定义，得到，求出的值即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故答案为：1．
13. 如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：___________
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
把所修两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】解：∵道路的宽应为，
∴由题意得，，
故答案为：．
14. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，
（1）线段AB的长度为_________；（2）△APB的面积为___________．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】（1）连接，证明，得到，再证、、 三点共线，，利用勾股定理求得；
（2）利用三角形的面积公式直接求得结果．
【详解】如图，连接，
，
，
在与中，
，
，
；
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，而，
，即；
，
，
∴点，点，点共线，
，，
，
，
．
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点，作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
15. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形， 连接，分别交于点． 已 知， 正方形 的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为 ________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
【详解】解：∵正方形的面积为24，
∴，，，
设，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵四个三角形为全等的直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积之和，
故阴影部分的面积之和就是梯形的面积，
∴
，
故答案为：4.8 ．
三、解答题：
16. （1）计算：．
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先利用二次根式的性质和乘法运算法则化简，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式求解，再加减运算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：原方程化为，
则，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：原方程化为，
则，，，
∴，
∴，
∴，．
18. 某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元．
（1）该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率；
（2）如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元的月份．
【答案】（1）该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是；
（2）月销售利润首次突破10万元的是5月份．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、代数式求值等知识点，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键
（1）设该水果店2、3月份月平均增长率为x，根据题意列方程求解即可；
（2）将（1）求得的增长率求出五月份的销售利润，然后与10万元比较，若不能突破，继续计算下一个月，直至突破10万元为止
【小问1详解】
解：设该水果店2、3月份月平均增长率为x，
则，解得，（不合题意，舍去），
答：该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是；
【小问2详解】
解：由（1）得4月份销售利润为，
5月份销售利润为，
答：月销售利润首次突破10万元的是5月份．
19. 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地3米、与宿舍外墙的距离是6米．请问云梯够长吗？说明理由．

【答案】够长，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，连接，勾股定理求出的长，与云梯的长度比较后即可得出结论．
【详解】解：够长，理由如下：
连接，由题意，得：，

∴，
∴，
∵，
∴云梯够长．
20. 已知关于的一元二次方程.
（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根，满足，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）-2.
【解析】
【详解】分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．
详解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．
∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．
又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，
∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，
∴25-18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=-6，
∴p=-2．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．
21. 如图①，在中，，O是的中点，P、Q分别是上一点，连接，已知．
（1）过B作交延长线于点D．
①求证：O为中点 ；
②求证：；
（2）如图②，若P、Q分别在的延长线上，其余条件不变，（1）②中的结论是否成立？若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析
（2）结论仍然成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①由平行线的性质可得，再由线段中点的定义得到，即可证明，得到，即O为中点；②根据全等三角形的性质得到，进一步证明，再由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理得，即可证明；
（2）过B作交延长线于点D，再仿照（1）证明即可．
【小问1详解】
证明：①∵，
∴，
∵O是的中点，即，
∴，
∴，即O为中点；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，即；
【小问2详解】
解：（1）②中的结论仍然成立，理由如下：
过B作交延长线于点D，
同理可证，
∴，，
同理可证，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．