安徽省合肥市包河区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省合肥市包河区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＜4B. x≥4C. x＞4D. x≥0
2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. a＝1，b＝2，c＝2B. a＝2，b＝3，c＝4
C. a＝3，b＝4，c＝6D. a＝1，b＝1，c＝
4. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C D.
5. 如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（ ）
A. 10cmB. 12cmC. 16 cmD. 24 cm
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 4B. C. D. 2
7. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A 中位数，众数B. 平均数，方差
C. 平均数，众数D. 众数，方差
9. 随着“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2022年学生数比2021年增长了，2023年新学期开学统计，该校学生数又比2022年增长了，设2022、2023这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D. 2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个多边形内角和是，则这个多边形的边数是______．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______．
13. 《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程________．
14. 如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为________．
15. 如图，菱形的边长为4，，点E是的中点，点M是上一动点，则的最小值是________．
16. 已知：中，，，点E为中点，，则的面积为________．
三、（本题共2小题，每题5分，满分10分）
17. 计算：．
18. 解方程：3x2+5x﹣2=0．
四、（本题满分8分）
19. 已知点，是的对边，上的点，且，连接，与相交于点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若，连接，，求证：四边形是菱形．
五、（本题满分10分）
20. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．平谷区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月—4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．桶前职守时长的频数分布表
b．桶前职守时长的频数分布直方图
c．其中，时长在20≤ x < 30这一组的数据是：20 20 21 21 22 24 24 26 26 27 27 28 28 28 29 29．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ；
（4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的有 人．
六、（本题满分12分）
21. 【过程学习】对于代数式，我们可作如下变形：
，，当时，代数式的最小值为为．这种方法叫做配方法求最值．
【初步应用】对于代数式可变形为，对于代数式，当________时，最小值为1．
【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台，根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台．
①五月份该专卖店想将销售额提高，求这种机床每件的售价；
②求五月份销售额最大值是多少？
七、（本题满分12分）
22. 已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作于点H，直线FH与直线DB交于点M．
（1）依题意补全图1；
（2）若，请直接写出____________（用含的式子表示）；
（3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明．
附加题：（本题满分5分，记入总分，但满分不超过100分）
23. 已知M是边长为1的正方形内一点，若，，则________．
2023-2024学年第二学期期末教学质量检测
（满分100分 考试时间100分钟）
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＜4B. x≥4C. x＞4D. x≥0
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，进而得出答案．
【详解】解： 在实数范围内有意义，则
解得：x≥4．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义条件，正确利用x-4是非负数是解题关键．
2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】A、是最简二次根式，此项符合题意；
B、，不是最简二次根式，此项不符题意；
C、，不是最简二次根式，此项不符题意；
D、，不是最简二次根式，此项不符题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义，通过化简进行验证是解题关键．
3. 下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. a＝1，b＝2，c＝2B. a＝2，b＝3，c＝4
C. a＝3，b＝4，c＝6D. a＝1，b＝1，c＝
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、12+22=5≠22，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+32=13≠42，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+42=25≠62，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、12+12=2=（）2，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减法，根据二次根式的性质，以及二次根式的加减法则，进行判断即可．
【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误；
B、，原选项计算错误；
C、，原选项计算正确；
D、，原选项计算错误；
故选C．
5. 如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（ ）
A. 10cmB. 12cmC. 16 cmD. 24 cm
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD=BC，BO=DO，由三角形的中位线定理可得AD=2OM=6cm，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，BO=DO，
又∵点M是AB的中点，
∴AD=2OM=6cm，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的的对角线互相平分是解题的关键．
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，根据根与系数关系可得，，代入即可解答．
【详解】解：∵是一元二次方程，即的两个实数根，
∴，，
∴．
故选：D
7. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形判定方法可判断A、根据矩形判定方法可判断B、根据菱形判定方法可判断C、根据正方形的判定定理可判断D即可．
【详解】解：A、两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，为此有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，选项A不正确；
B、有三个是直角的四边形是矩形，为此有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故选项B不正确；
C、对角线互相垂直平分四边形是菱形，为此对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项C错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．解决此题的关键是牢记判定定理
8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 中位数，众数B. 平均数，方差
C. 平均数，众数D. 众数，方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数、中位数和众数、方差的定义进行判断即可；
【详解】解：由题意可知报名2个项目和3个项目的一共有30-5-14=11(人)，
14>11，
∴无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，都少于报名1个项目的人数，
故众数为1不变,
共有30名学生则中位数为第15，16个数据的平均数，
由于5+14=19>16，
故中位数为，
则无论报名2个项目和3个项目的学生各有多少人中位数不变，
综上所述不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9. 随着“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2022年学生数比2021年增长了，2023年新学期开学统计，该校学生数又比2022年增长了，设2022、2023这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这两年该校学生数平均增长率，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设这两年该校学生数平均增长率为，列方程为，
故选：C．
10. 如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，延长交的延长线于点G，连接．求出,得到，证明，得到，则，求出，证明设，由勾股定理解得，即可得到答案.
【详解】延长交的延长线于点G，连接．
∵矩形中，，
∴，
∵E为边的中点，
∴,
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
设，由得方程
解得
即
故选：B
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______．
【答案】20°
【解析】
【分析】由平行四边形性质可得∠BCD=∠A=70°，又由于DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=70°；再根据CE⊥BD，最后根据三角形内角和即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BCD=∠A=70°
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=70°
∵CE⊥BD
∴∠CEB=90°
∴∠BCE=90°-∠DBC=20°．
故填20°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
13. 《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用．
由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可．
【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺，
门为矩形，
有，
即．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形和平行四边形．熟练掌握平行四边形的判断和性质，三角形全等的判断和性质，三角形中位线性质，是解决问题的关键．
延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，根据中点性质证明四边形平行四边形，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，得到，推出，得到，根据，，得到，．
【详解】延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
15. 如图，菱形的边长为4，，点E是的中点，点M是上一动点，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，则，在中，求出，，在中，求出，则可求的最小值．
【详解】解：连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，
菱形，
与关于对称，，
，
，
当点B、M、E三点共线时，取得最小值，且为
，点是的中点，
，
∵，，
，
在中，，，
∴
，由勾股定理得，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∴的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，菱形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，灵活运用菱形的对称性，将所求的最小值转化为求的长是解题的关键．
16. 已知：中，，，点E为中点，，则的面积为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行四边形的性质，推出，等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据的面积等于，进行求解即可．
【详解】解析：连接交于O，
四边形是平行四边形，
，，，
E为边的中点，
，
∴，
∵，
，
，
，
的面积．
三、（本题共2小题，每题5分，满分10分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘法和加法运算即可．
【详解】解：
．
18. 解方程：3x2+5x﹣2=0．
【答案】x1=，x2=﹣2．
【解析】
【详解】3x2+5x﹣2=0，
因式分解得：（3x﹣1）（x+2）=0，
∴3x﹣1=0或x+2=0，
解得：x1=，x2=﹣2．
【点睛】本题目是一道一元二次方程的求解题目，主要是利用因式分解法解方程，首先将方程转化为一般式，再利用十字相乘法因式分解降次即可．
四、（本题满分8分）
19. 已知点，是的对边，上的点，且，连接，与相交于点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（）由平行四边形的性质可得，，进而由即可证明；
（）由得是菱形，即得，，可证，得到，同理可得，，再证明，得到，即得，即可求证；
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键 ．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，，
由（）得，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
五、（本题满分10分）
20. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．平谷区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月—4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．桶前职守时长的频数分布表
b．桶前职守时长的频数分布直方图
c．其中，时长在20≤ x < 30这一组的数据是：20 20 21 21 22 24 24 26 26 27 27 28 28 28 29 29．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ；
（4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的有 人．
【答案】（1）4， 0.32；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）25；（4）160．
【解析】
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；
（2）根据（1）中a的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得；
（4）用总人数乘以样本中参加桶前职守的时长不低于30小时的人数所占比例即可得．
【详解】解：（1）a＝0.08×50＝4，b＝16÷50＝0.32，
故答案为：4，0.32；
（2）补全直方图如下：
（3）随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为24、26，
所以随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是 ＝25；
故答案为：25；
（4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的约有500× ＝160（人），
故答案为：160．
【点睛】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数、中位数的概念及利用样本估计总体思想的运用．
六、（本题满分12分）
21. 【过程学习】对于代数式，我们可作如下变形：
，，当时，代数式的最小值为为．这种方法叫做配方法求最值．
【初步应用】对于代数式可变形为，对于代数式，当________时，最小值为1．
【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台，根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台．
①五月份该专卖店想将销售额提高，求这种机床每件的售价；
②求五月份销售额最大值是多少？
【答案】初步应用：；1
问题解决：①这种机床每件的售价为3万元或5万元；②五月份销售额的最大值为160万元
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，列一元二次方程解决实际问题．
（1）根据过程学习中的方法即可解答；
（2）①设五月份这种机床每件的售价为x元，则销售量为台，根据“月份该专卖店想将销售额提高”即可列出方程，求解即可；
②设五月份这种机床每件的售价为n元，销售额为y万元，列出y关于x的函数解析式，根据过程学习中的方法即可求出y的最大值．
【详解】解：初步应用：
∵
∴代数式可变形为，
∵
∴对于代数式，当时，最小值为1．
故答案为：；1
问题解决：
①设五月份这种机床每件的售价为x元．根据题意，得
，
整理，得，
解得，，
答：这种机床每件的售价为3万元或5万元．
②设五月份这种机床每件的售价为n元，销售额为y万元，则
，
∵，
∴当时，销售额y有最大值，为．
答：五月份销售额最大值是160万元．
七、（本题满分12分）
22. 已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作于点H，直线FH与直线DB交于点M．
（1）依题意补全图1；
（2）若，请直接写出____________（用含的式子表示）；
（3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）BM=CF；
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）由正方形的对角线平分对角可得∠BDC=45°，于是可得∠BDH，再根据Rt△MDH中两锐角互余即可解答；
（3）在CD上取点G使CG=CE，连接GE，由正方形的性质和对称的性质可得BC-FC=CD-CG，由同角的余角相等和对顶角相等可得∠BFM=∠GDE，由等腰直角三角形的性质和补角的定义可得∠MBF=∠DGE，于是△BMF≌△GED（ASA），BM=GE即可解答；
【小问1详解】
解：补全图形如下，
【小问2详解】
解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC=45°，
∴∠BDH=∠BDC+∠CDE=，
Rt△MDH中，∠MHD=90°，
∴∠DMH=90°-∠MDH=，
∴∠DMF=；
【小问3详解】
解：如图，在CD上取点G使CG=CE，连接GE，
∵ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DBC=45°，∠BCD=90°，
由对称的性质可得FC=CE，
∴FC=CE=CG，
∴BC-FC=CD-CG，
∴BF=GD，
∵∠CDE+∠CED=90°，∠EFH+∠HEF=90°，
∴∠CDE=∠EFH，
∵∠BFM=∠EFH，
∴∠BFM=∠GDE，
∠ECG=90°，CE=CG，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴GE=，∠CGE=45°，
∴∠DGE=135°，GE=CF，
∵∠DBC=45°，
∴∠MBF=135°，
BF=GD，∠BFM=∠GDE，∠MBF=∠DGE，
∴△BMF≌△GED（ASA），
∴BM=GE，
∴BM=CF；
【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识；正确作出辅助线是解题关键．
附加题：（本题满分5分，记入总分，但满分不超过100分）
23. 已知M是边长为1的正方形内一点，若，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了正方形性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，过点M作边的平行线交于Q，交于P，证明四边形、是矩形，则，，证明，又由，即可求出答案．
【详解】解：过点M作边的平行线交于Q，交于P，
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴四边形、是矩形，
∴，，
由勾股定理得，
即，
同理可得
由，
∴
故答案为：报名项目个数
0
1
2
3
人数
5
14
a
b
时长x/小时
频数
频率
0 ≤ x < 10
8
0.16
10 ≤ x < 20
10
0.20
20 ≤ x < 30
16
b
30 ≤ x