安徽省池州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省池州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 2.5、6、6.5B. 3、4、6C. 1、2、D. 5、12、13
5. 在Rt△ABC 中，∠C  90 ，AB  3 ，AC  2，则BC 的值（ ）
A B. C. D.
6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（ ）

A. B. C. D.
8. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
9. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若使二次根式有意义，则的取值范围是__________．
12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
13. 若一元二次方程的一个根为，则另一个根为______ ．
14. 如图，是等边三角形外一点，
（1）当等边三角形的边长为4时，等边三角形的面积为_________．
（2）已知，，当长最大时，等边三角形面积为_________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. （1）解方程：
（2）解方程：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高．
18. 已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；
（1）+；
（2）a2b+ab2．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列各式：
11；
11；
11；
请你根据上面三个等式提供信息，猜想：
（1） ；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个根分别为，，若，求k的值及方程的根．
六、（本大题2小题，每题12分，满分24分）
21. 如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．

22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
七、（本大题1小题，满分14分）
23. 如果方程的两个根是、，那么，．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于的方程，求出一个关于的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知、满足，，求的值；
（3）已知、、为实数，且，，若为中最大值，求的最小值．
池州市2023-2024学年第二学期期中考试
八年级数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【详解】解：选项A、，可以与合并，不符合题意；
选项B、，可以与合并，不符合题意；
选项C、，不可以与合并，符合题意；
选项D、，可以与合并，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故A选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；
C．，计算正确，故C选项符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．
3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是分式方程，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，即是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．
4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 2.5、6、6.5B. 3、4、6C. 1、2、D. 5、12、13
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，解答即可．
【详解】解：A.和不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；
B.，因为，所以这三个数不是勾股数，不符题意；
C.不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；
D.都是正整数，且，所以这三个数能够成为直角三角形三条边长，则此项是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，解本题的关键要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
5. 在Rt△ABC 中，∠C  90 ，AB  3 ，AC  2，则BC 值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理即可求出.
【详解】由勾股定理得，.
故选.
【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.
6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等得实数根；当时，方程有两个相等得实数根；当时，方程没有实数根．由方程有实数根即，从而得出关于的不等式，解不等式即可得答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
7. 如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的性质得到，，由折叠性质得到，，然后利用股股定理，得到，设，则，再根据沟谷定理得，列出关于的方程，求解即可得出答案．
【详解】解：四边形是长方形，，，
，，
又将折叠使点恰好落在边上的点，
，，
在中， ，
，
设，则，，
在中，，即，解得，
即的长为．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及用勾股定理解三角形，熟练掌握长方形的性质折叠的性质及勾股定理是解题关键．
8. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴可知，，可得，，再化简即可．
【详解】由数轴可知，
∴，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，二次根式的性质是解题的关键．
9. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得：．
故选：C．
10. 对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程根，则．
其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，
∵无法确定a-b+c=0．故①错误；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式，
△=b2-4ac＞0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c（ac+b+1）=0
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
或，
∴或
∴b2−4ac＝(2ax0+b)2，故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若使二次根式有意义，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故答案：．
12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
13. 若一元二次方程的一个根为，则另一个根为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】设方程的一个根为t，则利用根与系数的关系得，从而求出t的值即可．
【详解】解：设方程的一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题关键是熟练掌握：若，是一元二次方程的两根，则，．
14. 如图，是等边三角形外一点，
（1）当等边三角形的边长为4时，等边三角形的面积为_________．
（2）已知，，当长最大时，等边三角形的面积为_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，三边关系的应用，解第2题的关键是作出辅助线，利用三边关系得到最大时的情形．
（1）根据等边三角形的性质，求出三角形的高，利用面积公式进行求解即可；
（2）以为边作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，利用三角形的三边关系可得当A，D，E三点共线时，的值最大，过点C作，垂足为F，过点B作交于点M，利用勾股定理求出，，，再根据等边三角形的性质求出的面积．
【详解】解：（1）如图，为等边三角形，，过A作于D，

则：，
∴，
∴的面积为：；
故答案为：；
（2）以为边作等边，连接．
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴的最大值为5，
∴当A，D，E三点共线时，的值最大，且为5，
如图，过点C作，垂足为F，过点B作交于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据等边三角形的性质可得，，
∴中边上的高，
∴的面积为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16. （1）解方程：
（2）解方程：
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）因式分解法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）
，
则，
或；
解得，；
（2）∵，
∴，
即或；
解得，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析
（2）BC边上的高为2
【解析】
【分析】(1)根据正方形小方格边长为1，得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形．
(2)设BC边上的高为h，根据面积公式，用正方形的面积减去三个三角形面积可以求出△ABC 的面积．
【小问1详解】
△ABC是直角三角形，理由：
∵正方形小方格边长为1，
∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【小问2详解】
设BC边上的高为h，
△ABC 的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，
×h×5＝5；
∴h＝2．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉勾股定理以及逆定理是解答此题的关键．
18. 已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；
（1）+；
（2）a2b+ab2．
【答案】（1）；（2）4．
【解析】
【分析】（1）先求出a+b和ab的值，然后通分，代入求值即可；
（2）利用提公因式法因式分解后，代入即可计算．
【详解】（1）∵a＝﹣，b＝+，
∴a+b＝2，ab＝2，
原式＝＝＝．
（2）原式＝ab（a+b）＝2×2＝4．
【点睛】此题考查的是二次根式的运算、分式加法运算和因式分解，掌握二次根式的运算法则、分式加法法则和因式分解是解题关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列各式：
11；
11；
11；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） ；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）先变形为原式，再根据得出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两个根分别为，，若，求k的值及方程的根．
【答案】（1）
（2）， ，
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，列式求解即可；
（2）根据根与系数的关系，列式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得．
【小问2详解】
解：由一元二次方程根与系数关系可知，．
∵，
∴，
∴，
解得．
∴．
∴， ．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式以及根与系数的关系．熟练掌握知识点是解题的关键．
六、（本大题2小题，每题12分，满分24分）
21. 如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．

【答案】（1）见解析；（2）2.8．
【解析】
【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；
（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AE2﹣CE2＝BC2，
∴BE2﹣CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；

（2）Rt△BDE中，
∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝
Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝
∴
解得x＝2.8，
∴CE＝2.8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
七、（本大题1小题，满分14分）
23. 如果方程的两个根是、，那么，．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于的方程，求出一个关于的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知、满足，，求的值；
（3）已知、、为实数，且，，若为中最大值，求的最小值．
【答案】（1）
（2）的值为2或
（3）最小值为4
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式：
（1）根据题意可得，，进而得到，，据此可得答案；
（2）当时，；当时，、可看作方程的两实数根，则，，据此求出答案即可；
（3）先求出，，，进而得到是关于x的一元二次方程的两实根，再利用判别式求出c的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：设方程的两根分别为、，
由题意得，，，
∴，，
∴所求新方程为，
整理得；
【小问2详解】
解：当时，；
当时，、可看作方程的两实数根，则，，
∴
，
综上所述，的值为2或；
【小问3详解】
解：∵，，是，，中的最大者，
∴，，．
∴是关于x的一元二次方程的两实根，
∴
∴，
整理得，
∴，
∴最小值为4．