安徽省安庆市潜山市第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省安庆市潜山市第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列根式中，的同类二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形（ ）
A. B. C. D.
4. 若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示图形，若最大的正方形的边长是，则正方形、、、的面积和是 （ ）
A. 14cm2B. 42cm2C. 49cm2D. 64cm2
5. 某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若关于x的方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且
C. D.
7. 已知，则的值（ ）
A. 2011B. 2012C. 2013D. 2014
8. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（ ）
A. B. C. D.
9. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
10. 如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若是二次根式，则x的取值范围是_______
12. 如图（1）边长为1的两个正方形可以拼成图（2）的大正方形，右图数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为2，以为边在数轴上方作一个正方形，以A为圆心，为半径作圆交数轴的负半轴于点E，则点E表示的数是_________．
13. 如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为________．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：
①；
②若，则；
③关于x的方程的根为，；
④关于x的方程的根为2，3．
其中正确结论的有___________．
三、解答题（共90分）
15. 计算：
16. 用合适方法解方程：
（1）；
（2）．
17. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
（2）如果收到短信人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
18. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
反之
她说如果化简可以这样做
∵
∴
（1）仿上例，化简：；
（2）计算：．
19. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求∶
（1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；
（2） 的面积；
（3）点C到边的距离．
20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
22. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
23. （1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题
证明：过点作且使，连接，
∴四边形为平行四边形，则________，
∵，
∴，
又∵，
∴等边三角形，
∴，
∴，即．
请完成证明中的两个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为．若的面积为8，则以的长度为三边长的三角形的面积等于______（请直接写出答案）．
2024年春季八年级数学期中限时作业
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 下列根式中，的同类二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查同类二次根式，解题关键在于先化简． 化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：A． 与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B． 与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C． 与被开方数相同，故是同类二次根式；
D． 与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选C．
2. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式。
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4. 若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示的图形，若最大的正方形的边长是，则正方形、、、的面积和是 （ ）
A. 14cm2B. 42cm2C. 49cm2D. 64cm2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理．根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案．
【详解】解：如图对所给图形进行标注：
因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．
因为，，
所以正方形A，B，C，D的面积和．
故选：C．
5. 某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据一月份的营业额为1000万元，三月份的营业额共万元，列出方程即可．
【详解】解：设该超市营业额的月平均增长率为x，
由题意，得：；
故选：B．
6. 若关于x的方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键，且切记不要漏掉二次项系数不为0．
根据一元二次方程根的判别式与根的关系列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程有实数根，
∴，解得：．
故选：D．
7. 已知，则的值（ ）
A. 2011B. 2012C. 2013D. 2014
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数、绝对值的计算法则求得的值，将其代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
8. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】长方形的长等于正方形的对角线，长方形的宽是正方形对角线的一半，根据勾股定理，即可求解，本题考查了用七巧板拼图形，勾股定理，解题的关键是：找到边长之间的等量关系．
【详解】解：由图像可知，长方形的长等于正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
根据勾股定理可得：，
故选：．
9. 勾股定理是人类早期发现并证明重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】解：过点作于点，交于点，
正方形面积为5，正方形面积为1，
，，，，
是直角三角形，，
，
，
即，
，
，
，
，
以为边长的正方形面积为10．
故选：．
10. 如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先作辅助线，根据等边三角形的性质得到边长之间的关系，再根据三角形全等，得到角度的关系，再根据对称的性质可得到最值．
【详解】解：作于点H，作射线，则，
，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点L，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点L与点A关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，灵活运用知识是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若是二次根式，则x的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；
根据二次根式有意义，被开方数非负列式计算即可．
【详解】解：若是二次根式，则，
解得：，
故答案为：．
12. 如图（1）边长为1的两个正方形可以拼成图（2）的大正方形，右图数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为2，以为边在数轴上方作一个正方形，以A为圆心，为半径作圆交数轴的负半轴于点E，则点E表示的数是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，勾股定理，根据圆的半径相等结合勾股定理得到即可得到答案．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为2，
∴
∵四边形是正方形，
∴对角线，
∵为半径作圆交数轴的负半轴于点E，
∴，
∴点E表示的数是．
故答案为：．
13. 如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理在网格中的应用．根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
【详解】解：连接，
由题知，，
，
，
，，
，为直角三角形，即，
．
故答案为：．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：
①；
②若，则；
③关于x的方程的根为，；
④关于x的方程的根为2，3．
其中正确结论有___________．
【答案】②④
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案．
【详解】解：①化为一般形式为，
∵原方程有实数根、，且，
∴
解得：，故①错误，
∵关于的一元二次方程有实数根、，
当，则，
∴方程为，
解得：，，故②正确；
∵关于x的一元二次方程有实数根，，且，
而可化为：，
∴，，
∴或，故③错误；
∵化一般形式为，
∵原方程有实数根、，且，
∴，，
∵
，
∴，
解得：或，故④正确，
故答案为：②④
三、解答题（共90分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，零指数米，负整数指数幂，先化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
16. 用合适的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
或，
解得：；
【小问2详解】
解：，
，
，
，即，
，
解得：，．
17. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】（1）这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
（2）从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【小问1详解】
解：设这个短信要求收到短信人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
【小问2详解】
解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
18. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
反之
她说如果化简可以这样做
∵
∴
（1）仿上例，化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解此题的关键．
（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【小问1详解】
解：，
；
【小问2详解】
解：，，，……，，
．
19. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求∶
（1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；
（2） 的面积；
（3）点C到边的距离．
【答案】（1）不是直角三角形，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；
（1）由勾股定理分别求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由割补法计算三角形的面积即可；
（3）设点C到的距离是h，根据三角形的面积公式列方程求解即可；
【小问1详解】
解：不是直角三角形，理由如下∶
根据勾股定理知，，，，
，
∴不是直角三角形；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
设点C到的距离是h．
由（2）知，三角形的面积是，
则，即，
解得，
点C到的距离为；
20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
【答案】（1）k﹥；（2）k=2
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可．
【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根
∴
解得：k﹥；
故答案为：k﹥.
（2）∵k﹥，
∴＜0
又∵
∴ ，
∴,
∵,
∴2k+1=k2+1，
解得：k1=0,k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故答案为：k=2．
21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）9
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式：
（1）先根据勾股定理求出的值，再代入方程求解即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴“勾系一元二次方程”为：；
【小问2详解】
证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴“勾系一元二次方程”必有实数根；
【小问3详解】
解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
22. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【答案】（1）①30元或80元②八折
（2）该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元
【解析】
【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无解，故不能达到要求．
【小问1详解】
解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
．
解得：．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：元，．
答：该店应按原售价的八折出售．
【小问2详解】
解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：
0,
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
23. （1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题
证明：过点作且使，连接，
∴四边形为平行四边形，则________，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即．
请完成证明中的两个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为．若的面积为8，则以的长度为三边长的三角形的面积等于______（请直接写出答案）．
【答案】（1），，；（2）（3）6
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可；
（2）过作，过作，两直线交于，连接，证明直角三角形，由勾股定理可得的长，再证名，由勾股定理得的长，根据四边形是平行四边形可得答案；
（3）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形知以的长度为三边长的三角形的面积等于的面积的，即可获得答案．
【详解】解：（1）证明：过点作且使，连接，
∴四边形为平行四边形，则，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即．
故答案为：，，；
（2）过作，过作，两直线交于，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得，
∵四边形是平行四边形，
∴；
（3）如下图，平移到，可得，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，即为的中点，
又∵，为的中点，
∴为的中点，
∴为各边中线的交点，
∴的面积为面积的，
连接，可知与在一条直线上，
∴的面积是面积的，
∴的面积是，
∴以的长度为三边长的三角形的面积等于6．
故答案为：6．
【点睛】本题是四边形综合问题，主要考查了平移的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，结合题意正确作出辅助线是解题关键．