安徽省安庆市潜山市第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省安庆市潜山市第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数，，1，中，最小数是（ ）
A. B. C. 1D.
2. 在下列各数：，，，，3.1415，，，5.1717717771……（每个1之间依次多一个7)中，无理数个数（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
3. 奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米(1纳米米)，“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
4. 下列等式，成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列说法：①的相反数是；②算术平方根等于它本身的数只有零；③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；④若，都是无理数，则一定是无理数．其中正确的有（ ）．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6. 若不等式解集是，则必满足（ ）
A. B. C. D.
7. 若，，则的值为（ ）
A. 1B. 16C. 4D. 8
8. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 有两个正方形A、B．现将B放在A内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（ ）

A. 10B. 11C. 12D. 13
10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，满分20分)
11. 若，且a，b为两个连续的正整数，则________．
12. 若是完全平方式，则_________．
13. 若关于x的代数式的化简结果中不含的项，则________．
14. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ___________．
三、解答题：(本大题共2题，每小题8分，满分16分)
15. 计算题
（1）
（2）
16. 解不等式：并求它的所有整数解的和．
四、(本大题共2题，每小题8分，满分16分)
17. 先化简，再求值：，其中，
18. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
五、(本大题共2题，每小题10分，满分20分)
19. 在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则．
（1）填空： ， ；
（2）计算：；
（3）若，，求的值．
20. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x为正数，y为负数，求k的取值范围．
六、(本题满分12分)
21. 阅读下面的文字，解答问题：
【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．
（1）_____，______；_____，_______．
（2）如果，，求的立方根．
七、(本题满分12分)
22. 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数多少辆．
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
八、(本题满分14分)
23. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】（1）①若，，则的值为 ；
②若，则 ；
【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
2024年春季七年级数学期中
一、选择题：(本大题共10题，每小题4分，满分40分)
1. 在实数，，1，中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照实数的大小比较法则进行比较即可找到最小的数．
【详解】∵，
∴最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，掌握这些法则是关键．
2. 在下列各数：，，，，3.1415，，，5.1717717771……（每个1之间依次多一个7)中，无理数的个数（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】A
【解析】
【分析】此题这样考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
根据无理数的定义判定即可．
【详解】解：在下列各数：，，，，3.1415，，，5.1717717771……（每个1之间依次多一个7)中，
，是分数，是整数，3.1415是有限小数，是有限循环小数，它们都是有理数，
，， 5.1717717771……（每个1之间依次多一个7)是无理数，共有3个，
故选：A．
3. 奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米(1纳米米)，“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：140纳米（米）
故选：C．
4. 下列等式，成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算法则，准确进行计算；
根据完全平方公式、平方差公式、幂的运算，因式分解判断即可．
【详解】解：A. ，原选项不符合题意；
B. ，原选项符合题意；
C ，原选项不符合题意；
D. ，原选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列说法：①的相反数是；②算术平方根等于它本身的数只有零；③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；④若，都是无理数，则一定是无理数．其中正确的有（ ）．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】由相反数的定义判断①，由算术平方根的含义判断②，由数轴上的点与实数一一对应判断③，举反例判断④．
【详解】解：的相反数是 所以①错误，
算术平方根等于它本身的数有 所以②错误，
数轴上的点与实数一一对应，所以数轴上的数不是有理数就是无理数，所以③正确，
一定是个非负数，所以当，都是无理数时，一定是无理数是错误的，
比如：
故选
【点睛】本题考查命题的真假，掌握命题的真假的判断与基础知识是解题关键．
6. 若不等式的解集是，则必满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的解集是，不等式的方向发生了改变，从而可得：＜ 于是可得答案．
【详解】解： 不等式的解集是，
＜
＜
故选：
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变．”是解题的关键
7. 若，，则的值为（ ）
A. 1B. 16C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，即可求得．
【详解】，
故选D
【点睛】本题考查幂的乘方，掌握同底数幂的除法是解题关键．
8. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求不等式组解集的规律得出答案即可．
【详解】解：∵关于的不等式组，即有解，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，能熟记求不等式组的解集的规律是解此题的关键．
9. 有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（ ）

A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形求出a、b的关系式，进而求得二者的面积关系．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得：，即，即
由图乙得：，整理得，
所以.
即正方形A、B的面积之和为13．
故选D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，掌握整体代入的数学思想和数形结合思想是解答本题的关键．
10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
的取值范围是．
故选：C．
二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，满分20分)
11. 若，且a，b为两个连续的正整数，则________．
【答案】9
【解析】
【分析】先估算出的取值范围，得出a，b的值，再代入计算，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，且a，b为两个连续的正整数，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
12. 若是完全平方式，则_________．
【答案】或##或8
【解析】
【分析】根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：或
故答案为：或
【点睛】本题考查求完全平方公式中的字母系数．掌握公式特点是解题关键．
13. 若关于x的代数式的化简结果中不含的项，则________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则，展开括号，再合并同类项，最后让项系数为0即可．
【详解】解：
，
∵化简结果中不含的项，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式运算法则，以及不含某项，则该项系数为0．
14. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题中所给不等式组，按照解一元一次不等式组的方法得到解集，再由关于的不等式组有且仅有3个整数解，确定的范围，按要求得到整数解求和即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
∵关于的不等式组有且仅有3个整数解，在数轴上表示满足题意的解集为：

∴将数轴上的范围表示为，解得，
∴满足条件整数的值为，
∴满足条件的整数的值之和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查解含参数的不等式组、根据不等式组整数解的情况求参数范围、不等式的整数解等知识，熟练掌握含参数的不等式组的解法，以及根据不等式组整数解的情况求参数范围是解决问题的关键．
三、解答题：(本大题共2题，每小题8分，满分16分)
15. 计算题
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，逆用积的乘方法则是解题的关键．
（1）先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可；
（2）先计算乘方，并逆用积的乘方法则计算，再计算乘法，最后计算加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
16. 解不等式：并求它的所有整数解的和．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解．解师生关键是确定不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
首先求解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．从而得出不等式组的整数解，继而可求所有整数解的和．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：．
则不等式组的解集是：．
∴它的所有整数解为：，0，1，
∴它的所有整数解的和．
四、(本大题共2题，每小题8分，满分16分)
17. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，先利用完全平方公式及平方差公式化简去括号合并，后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
，
当时，
原式，
，
．
18. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c；
（2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答．
【小问1详解】
∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴．
【小问2详解】
将，，代入得：，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键．
五、(本大题共2题，每小题10分，满分20分)
19. 在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则．
（1）填空： ， ；
（2）计算：；
（3）若，，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键．
（1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可；
（2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可；
（3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出a，b的值然后解题即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
20. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x为正数，y为负数，求k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先解方程组可得：，然后再根据已知可得，从而按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
解得：，
为正数，为负数，
，
解得：．
六、(本题满分12分)
21. 阅读下面文字，解答问题：
【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．
（1）_____，______；_____，_______．
（2）如果，，求的立方根．
【答案】（1）1，，3，；
（2）2．
【解析】
【分析】（1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；
（2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果．
【小问1详解】
，，
，，，，
故答案为：1，，3，；
【小问2详解】
，，
，，
，
的立方根是2．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键．
七、(本题满分12分)
22. 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为多少辆．
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有16人，学生有284人
（2）8辆 （3）3 种租车方案：方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆；方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆；方案一最省钱．理由见解析
【解析】
【分析】（1）设出老师有x人，学生有y人，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数；
（2）根据汽车总数不能超过（取整为8）辆，即可求出；
（3）设租a辆甲种客车，由题意列出不等式组，得出a取值范围，分析得出即可．
【小问1详解】
设老师有x人，学生有y人，
依题意，得，
解得，
答：参加此次拓展活动的老师有16人，学生有284人；
【小问2详解】
∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能超过8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数8辆；
答：租用客车总数为8辆；
【小问3详解】
设租a辆甲种客车，由题意可得：，
解得1≤a≤3（a为整数），
∴共有3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用2900元；
方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用3000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆，租车费用3100元；
∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用a辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．
八、(本题满分14分)
23. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】（1）①若，，则的值为 ；
②若，则 ；
【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22．
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键．
（1）①利用计算即可；
②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可；
（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．
【详解】解：（1）①由题意可知，，
，，
，
故答案为：20；
②令，，
，，
，
故答案为：13；
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是22．客车
甲种
乙种
载客量/（人/辆）
30
42
租金（元/辆）
300
400
客车
甲种
乙种
载客量/（人/辆）
30
42
租金（元/辆）
300
400