安徽省合肥市蜀山区五十中学西校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

这是一份安徽省合肥市蜀山区五十中学西校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题，共21页。
2．请你仔细核对每页练习下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卡上，在练习卷上答题无效，练习结束只收答题卡．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 在下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D. 3.14
2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 的立方根是B. 的平方根是
C. 是9的一个平方根D. 的算术平方根是5
5. 若多项式是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A. 7或B. 7C. D. 或5
6. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ）
A 9折B. 8.5折C. 8折D. 7.5折
7. 设实数满足，若，则的值为（ ）
A. B. 14C. D. 6
8. 如图，大正方形与小正方形的面积差为48，则阴影部分的面积为（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 72
9. 已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 【数学中的阅读理解】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，如果我们对某整数a连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对15连续求根整数2次，这时候结果为1．对只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是（ ）
A. 225B. 255C. 256D. 324
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11 分解因式：______．
12. 2024年9月，华为Mate XT三折叠手机发售，销量遥遥领先，其中使用的华为新麒麟芯片9020突破毫米制程工艺，数据用科学记数法表示是______．
13. 比较大小：_____（填“＞”、“＜”或“＝”）
14. 已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为______．
15. 如果a，b，c满足，，，那么a，b，c满足的等式是______．
16. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“小西数”如（，，即8，16均为“小西数”）．
（1）将“小西数”96表示为两个连续奇数的平方差为______；
（2）在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和为______．
三、（本大题共7小题，满分52分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 解不等式组：2x−3+9>x5x+24≥2x−1，并在数轴上表示出它的解集．
20. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个正整数的积能否表示为（为正整数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（I）（__________）__________；
（II）__________（用含的式子表示）
（III）证明（II）中的结论．
（2）兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（n为正整数）的正整数不能表示为（为正整数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
21. 在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：______；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为a、b、c，，，直接写出c的值为______．
22. 为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，且这三块长方区域的面积相等，若的长为x米．
（1）______米；______米；（用含a，x的代数式表示）
（2）当，时，求长方形面积．
23. 落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
七年级数学练习
温馨提示：
1．数学练习4页，共23小题，满分100分，练习时间100分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页练习下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卡上，在练习卷上答题无效，练习结束只收答题卡．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 在下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D. 3.14
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的选项．
【详解】解：根据无理数的三种形式可得，是无理数．
故选C．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案．
【详解】解：．，故该选项不符合题意；
． ，故该选项符合题意；
．，故该选项不符合题意；
． ，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
B、当时，满足，但是不满足，原不等式不成立，不符合题意；
C、由可得，则可得到，原不等式成立，符合题意；
D、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
故选C．
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 的立方根是B. 的平方根是
C. 是9的一个平方根D. 的算术平方根是5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：A、的立方根是，原说法正确，不符合题意；
B、的平方根是，原说法错误，符合题意；
C、是9的一个平方根，原说法正确，不符合题意；
D、的算术平方根是5，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
5. 若多项式是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A 7或B. 7C. D. 或5
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，
∴，
则，
解得：或7
故选：A
6. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ）
A. 9折B. 8.5折C. 8折D. 7.5折
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设打x折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可．
【详解】解：设打x折，
根据题意得，
解得．
所以最低可打9折．
故选：A．
7. 设实数满足，若，则的值为（ ）
A. B. 14C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意，设，
，
，
，，，
，
故选：B．
8. 如图，大正方形与小正方形的面积差为48，则阴影部分的面积为（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、平方差公式在几何图形中的应用．设大正方形边长为，小正方形边长为，由题意得，，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再利用整式的运算法则化简，代入数据即可得出答案．
【详解】解：如图，
设大正方形边长为，小正方形边长为，则，
大正方形与小正方形的面积差为48，
，
阴影部分面积
．
故选：B．
9. 已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先根据题意得到，则，据此可求出，进而可得，计算出的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
故选：D．
10. 【数学中的阅读理解】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，如果我们对某整数a连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对15连续求根整数2次，这时候结果为1．对只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是（ ）
A. 225B. 255C. 256D. 324
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小应用以及求一个数的算术平方根，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255，225，256，324进行几次操作，即可得出答案．
【详解】解：．，，，符合题意，
．，，，符合题意，
．，，，，需进行4次连续求根，故该选项不符合题意；
．，，，，需进行4次连续求根，故该选项不符合题意；
∵，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 2024年9月，华为Mate XT三折叠手机发售，销量遥遥领先，其中使用的华为新麒麟芯片9020突破毫米制程工艺，数据用科学记数法表示是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 比较大小：_____（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【解析】
【分析】先通分，然后比较分子的大小即可．
详解】∵＝，＝，
5＝＝，11＝，
∴﹣5＞﹣5，
即5﹣5＞6，
∴＞，
故答案：＞．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
14. 已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据有三个非负整数解得出关于的不等式，进而求解即可.
【详解】解：解不等式得：，
∵关于的不等式有三个非负整数解，
∴这三个负整数解是0，1，2，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如果a，b，c满足，，，那么a，b，c满足的等式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，再由得到，则，据此可得答案．
【详解】解；∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“小西数”如（，，即8，16均为“小西数”）．
（1）将“小西数”96表示为两个连续奇数的平方差为______；
（2）在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和为______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
（1）根据即可得到答案；
（2）设连续的两个奇数为，（n为正整数），可求出，则任意的“小西数”一定是8的倍数，再由可得只需要求出1到253的自然数之和再乘以8即可得到答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）设连续的两个奇数为，（n为正整数），
∴
，
∴任意的“小西数”一定是8的倍数
∵，
∴在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和，
故答案为：．
三、（本大题共7小题，满分52分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算．先计算零次幂，负整数指数幂，立方根及绝对值，再计算加减法．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解；
，
当时，原式．
19. 解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】．数轴见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
由①得：，解得：，
由②得：，解得：，
在数轴上表示不等式组的解集如下：
∴不等式组的解集为：．
20. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个正整数的积能否表示为（为正整数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（I）（__________）__________；
（II）__________（用含式子表示）
（III）证明（II）中的结论．
（2）兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（n为正整数）的正整数不能表示为（为正整数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
【答案】（1）（I），7；（II）；（III）见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的混合运算，因式分解，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）（I）根据表中规律作答即可；（II）根据表中规律作答即可；（III）根据单项式乘多项式法则化简等式左边，根据完全平方公式化简等式右边，即可得解；
（2）利用因式分解求解即可．
【小问1详解】
（1）（I），
故答案为；，7；
（II），
故答案为：
（III），，
．
【小问2详解】
解：②若为偶数，
设，其中为正整数，
则为相邻两个正整数的积，矛盾．故不可能为偶数，
故答案为．
21. 在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：______；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为a、b、c，，，直接写出c的值为______．
【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）5
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，代入数值求解即可；
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
22. 为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，且这三块长方区域的面积相等，若的长为x米．
（1）______米；______米；（用含a，x的代数式表示）
（2）当，时，求长方形的面积．
【答案】（1），，
（2）675平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，代数式求值，解题的关键是根据三个长方形面积相等．
（1）根据①②③这三块长方形区域面积相等得出对应等式，求出米，结合周长求出米即可；
（2）根据长方形的面积公式得出，将a和x代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵①②③这三块长方形区域面积相等，
∴，
∵的长为x米，
∴，
∴，
∴，即，
∵用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，
∴，
即，
∴，
故答案为：，，
【小问2详解】
解：长方形的面积，
∵，，
∴原式（平方米）．
所以长方形的面积为675平方米．
23. 落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
【答案】任务1：18个；任务2：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出函数关系和不等式是解题的关键．
（1）设购买足球x个，根据购买排球和足球总费用不超过3000元，且购买排球15个建立不等式求解即可；
（2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可．
【详解】解：任务1：设购买足球x个，
由题意得，，
解得，
∴x的最大值为18，
答：该校最多可以购买18个足球；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，
根据题意，得，
解得，
设总费用为w元，
根据题意，
故y随x的增大而减小，
∴时，w最小，最小为4000元，
故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．（x为正整数）
…
…
_________
假设，其中为正整数．
分下列两种情形分析：
①若为奇数，设，其中为正整数，
则为相邻两个正整数的积，矛盾．故不可能为奇数．
②若为偶数，设，其中为正整数，
则__________为相邻两个正整数积，矛盾．故不可能为偶数．由①②可知，猜测正确．
如何确定排球和足球购买方案？
素材1
某体育器材店排球的售价为80元/个，足球的售价为100元/个．
素材2
某学校购买排球和足球的总费用不超过3000元，且购买排球15个．
素材3
该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1
利用素材2，请运用适当方法，求出该校最多可以购买多少个足球？
任务2
利用素材3，运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
（x为正整数）
…
…
_________
假设，其中为正整数．
分下列两种情形分析：
①若为奇数，设，其中为正整数，
则为相邻两个正整数的积，矛盾．故不可能为奇数．
②若为偶数，设，其中为正整数，
则__________为相邻两个正整数的积，矛盾．故不可能为偶数．由①②可知，猜测正确．
如何确定排球和足球购买方案？
素材1
某体育器材店排球的售价为80元/个，足球的售价为100元/个．
素材2
某学校购买排球和足球的总费用不超过3000元，且购买排球15个．
素材3
该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1
利用素材2，请运用适当的方法，求出该校最多可以购买多少个足球？
任务2
利用素材3，运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？