安徽省合肥市五十中学东校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市五十中学东校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共10小题，满分30分）
1. 已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如果，则下列不等式一定成立是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
7. 如果的积中不含x的一次项，那么a，b一定（ ）
A. 互为倒数B. 互为相反数C. 且D.
8. 如图表示的是关于x的不等式的解集，则a的值是（ ）
A. 0B. C. D. 3
9. 某超市以每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（ ）元才能避免亏本．
A. 4.5B. 4.8C. 5D. 6
10. 如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 80
二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）
11. 9的算术平方根是_____．
12. 数轴上点A表示，点B表示1，则线段长度是_________．
13. 如果，，那么_________．
14 若，则_________．
15. 在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________．
三、（本大题共两题，满分14分）
16. （1）计算；
（2）化简．
17. 解不等式组：，并把它的解集表示的数轴上．
四．（本大题共两题，满分12分）
18. 先化简，再求值，其中．
19. 已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
五、（本大题共两题，满分17分）
20. 观察下列关于自然数等式：
①
②
③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式： _____________；
（2）请写出第个等式：___________；
（3）写出第个等式（为正整数），并验证其正确性．
21. 某些等式可以根据几何图形面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．

（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
（2）已知等式，请你画出一个相应的几何图形；
（3）请你设计一个几何图形，并解释：．
六、（本大题满分12分）
22. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.8万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种．
2023-2024学年安徽省合肥市五十中学东校
七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共10小题，满分30分）
1. 已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，
故选：B
2. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的概念“无限不循环小数”，求一个数的算是平方根，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结果的数（如），由此即可求解，掌握常见的无理数的形式，无理数的概念是解题的关键．
【详解】解：A、，是有理数，故该选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、，是有理数，故该选项不符合题意；
D、是无理数，故该选项符合题意．
故选：D．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，原计算错误；
D. 无意义，原计算错误；
故选B．
4. 如果，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质对各选项的不等式进行分析判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴，故本选项符合题意；
B．∵，
∴，故本选项不符合题意；
C．不妨设，,
∵，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴，故本选项不符合题意．
故选：A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，负整数指数幂，利用幂的乘方法则，同底数幂相乘法则，同底数幂相除法则，负整数指数幂意义逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意；
B．，原计算错误，故该选项不符合题意；
C．，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
6. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：是完全平方式，
．
故选：D．
7. 如果的积中不含x的一次项，那么a，b一定（ ）
A. 互为倒数B. 互为相反数C. 且D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项求出a与b的值即可．
【详解】解：原式，
由结果中不含x的一次项，得到，
则a，b一定互为相反数，
故选B．
8. 如图表示的是关于x的不等式的解集，则a的值是（ ）
A. 0B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查含参数的不等式的解法，利用不等式的解集列方程，掌握相关的知识点是解题的关键．先解不等式，再由不等式的解集得到方程可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
则，
由数轴知，
∴，
解得，
故选：D．
9. 某超市以每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（ ）元才能避免亏本．
A. 4.5B. 4.8C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设超市应把售价定为x元，由销售收入不低于成本，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设超市应把售价定x元，
依题意，得：（1-20%）x≥4，
解得：x≥5．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10. 如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】设AB=a，BC=b，再表示新图形周长与阴影部分面积，再利用完全平方公式的变形可得长方形面积．
【详解】解：设AB=a，BC=b，
由题意得：πa+πb=16π，π×()2+π×()2=44π．
∴a+b=16，a2+b2=176．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab．
∴256=176+2ab．
∴ab=40．
∴S长方形ABCD=40．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景和圆的面积公式，正确表示周长和面积是求解本题的关键．
二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）
11. 9的算术平方根是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12. 数轴上点A表示，点B表示1，则线段的长度是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，掌握两点之间距离的计算方法是解题的关键．
根据点对应的数字，用的方法计算即可求解．
【详解】解：根据题意，线段的长度为：，
故答案为：．
13. 如果，，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相除，幂的乘方等知识，逆用同底数幂相除、幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
14. 若，则_________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了利用平方根解方程，平方差公式的应用．设，原方程化为，整理得，再平方根解方程，进一步计算即可求解．
【详解】解：，
设，则原方程化为：，
∴，即，
∴，
∵不论a、b为何值，不能为负数，
∴．
故答案为：6．
15. 在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________．
【答案】2或3##3或2
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设，分①当时，②当时两种情形计算即可．
【详解】解：依题意得：设，
①当时，x为整数，都是整数，
∴，，
∴，
②当时，，，
∴，，
∴．
综上所述：或3．
故答案为：2或3．
三、（本大题共两题，满分14分）
16. （1）计算；
（2）化简．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，解题的关键是：
（1）利用乘方的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义计算即可；
（2）先利用同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则计算，然后合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 解不等式组：，并把它的解集表示的数轴上．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组， 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】
解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为；
不等式组的解集在数轴上表示如下：

四．（本大题共两题，满分12分）
18. 先化简，再求值，其中．
【答案】，21
【解析】
【分析】本题考查了整式化简求值，完全平方公式、平方差公式，先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
【答案】23
【解析】
【分析】根据一个数的平方根互为相反数，有（a﹣3）+（2a+15）＝0，可求出值，又的立方根是−3，可求出值，继而代入求出答案．
【详解】解：∵正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，
∴（a﹣3）+（2a+15）＝0，
解得：a＝﹣4，
∵立方根是﹣3，
∴＝﹣27，
∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．
五、（本大题共两题，满分17分）
20. 观察下列关于自然数的等式：
①
②
③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式： _____________；
（2）请写出第个等式：___________；
（3）写出第个等式（为正整数），并验证其正确性．
【答案】（1）
（2）
（3）4（n+1）6﹣（2n+1）3＝4n+3（n为正整数），验证见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，数字规律题型，理解数字规律计算方法，整式的混合运算即可求解．
（1）根据材料提示，计算出数字规律，即第n个等式可表示为：（n为正整数），由此即可求解；
（2）把代入代数式计算即可求解；
（3）根据整式的运算法则，分别计算左边和右边的结果，进行比较即可求解．
【小问1详解】
解：已知①，
②，
③，
…
观察各部分的变化规律可知，
第n个等式可表示为：（n为正整数），
当时，，
即第四个等式为：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：由（1）知，
当时，，
即第个等式为：，
故答案为：．
【小问3详解】
解：由（1）知，第n个等式可表示为：（n为正整数）．
证明如下：
左边
右边，
故此等式成立．
21. 某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．

（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
（2）已知等式，请你画出一个相应的几何图形；
（3）请你设计一个几何图形，并解释：．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）图见解析，解释见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）利用正方形的面积公式即可证明．
（2）画一个长为，宽为的长方形即可；
（3）把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形即可．
【小问1详解】
解：在图2中，大正方形边长为，
组成大正方形的5个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图3所示：

整体大长方形的长为，宽为，组成长方形的4个部分的面积和为，
因此有；
【小问3详解】
解：如图4，

把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形，
因此可以验证．
六、（本大题满分12分）
22. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.8万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种．
【答案】（1）购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元；
（2）方案一需要资金最少，最少资金是10万元；
（3）方案有两种：方案一：购买甲种农机具2件，乙种农机具12件；方案二：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
【解析】
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可；
（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；
（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可．
【小问1详解】
解：设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元．
根据题意，得，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；
【小问2详解】
解：根据题意，得，
解得：，
∵m为整数，
∴m可取5、6、7，
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为W万元，则，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，（万元），
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
【小问3详解】
解：由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，
根据题意，此时，节省的费用为（万元），
降价后的单价分别为：甲种0.7万元，乙种0.3万元，
设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种，
则：，
由题意，a，b均为非负整数，
∴满足条件的解为：或，
∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具2件，乙种农机具12件；
方案二：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一次函数的性质是解题关键．