安徽省合肥市第五十中学2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷

这是一份安徽省合肥市第五十中学2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷，共18页。
1．数学试卷4页，共23小题，满分100分，考试时间100分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卡．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算结果的是（ ）
A. B. C. D.
4. 一种半导体电子元件半径约为0.000024米，把0.000024用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式的最大整数解为：（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知，则的值是（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
7. 如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是（ ）
A. B. C. D.
8. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为，它介于整数和之间，则的值是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
9. 观察下列等式：
；
；
；
……
根据上述规律，请判断下列等式正确是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 定义：对任意实数表示不超过最大整数，如，，．对数字227进行如下运算：；；，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（ ）次运算后的结果为1．
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 16的平方根是_____．
12. 比较大小_____
13. 如图，将边长为1的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形对角线的长度为半径作圆，交数轴于两点，且对应的数分别为、，则_____．

14. 已知关于的一元一次不等式的解集是，则的值是_____．
15. 方程组解，都是正数，则整数_____．
16. 某市为提高政务服务中心窗口服务质量，经过一段时间的观察，早上开始平均每天有个人在窗口等候，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放3个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放5个售票窗口，需要15分钟恰好不出现排队现象．为减少旅客排队购票时间，车站承诺8分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放_____个售票窗口．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分）
17. 计算：．
18. 计算：a(a-2b)-(a-b)2
19. 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
20 先化简，再求值：，其中，
21. 观察下列关于自然数的等式：
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：_____；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
22. 在某次拼图游戏中，欣欣发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，如图2可以解释完全平方公式．
（1）图3可以解释的等式为_________________；
（2）现有如图1所示的边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形3张，宽为长为的长方形纸片（为正整数）张，这些纸片可以正好拼出一些长方形，请通过图形、式子或者文字列出所有可能性并说明的最大值．
23. 某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表：
（1）经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）；
（2）在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案．
2024-2025学年度第二学期学情调研
七年级数学
温馨提示：
1．数学试卷4页，共23小题，满分100分，考试时间100分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卡．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，在初中阶段它的表现形式有三类：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③π或与π有关的式子（注意π乘以0等于0，为有理数）．根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是无理数，故本项符合题意；
B、是整数，是有理数，故本项不符合题意；
C、是分数，是有理数，故本项不符合题意；
D、是有限小数，是有理数，故本项不符合题意；
故选：A．
2. 不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集．一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．再结合选项进行判定即可．
【详解】解：在数轴上表示右侧的所有实数，不含于解集即为空心点；
故选：D．
3. 下列计算结果的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减，同底数幂乘、除法及幂的乘方．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，所以本选项不合题意；
B、，所以本选项不符合题意；
C、，所以本选项符合题意；
D、，所以本选项不符合题意．
故选：C．
4. 一种半导体电子元件的半径约为0.000024米，把0.000024用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：；
故选：C．
5. 不等式的最大整数解为：（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出最大整数解即可．
【详解】解：
移项得
合并同类项得
系数化为1得
故该不等式的最大整数解为3，故选C.
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解.解本题注意在第三步系数化为1时需改变不等号的方向.
6. 已知，则的值是（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，由得到，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
7. 如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点运动之后所表示的数．由圆的周长为，再结合数轴上两点之间的距离可得答案．
【详解】解：∵圆的周长为，
∴点B表示的数为，
故选：B．
8. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为，它介于整数和之间，则的值是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，结合比值为，它介于整数和之间，则，整理得，最后结合各个选项的值进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
依题意，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，则，不符合题意；
当时，则，不符合题意；
当时，则，，符合题意；
当时，则，不符合题意；
故选：B．
9 观察下列等式：
；
；
；
……
根据上述规律，请判断下列等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化类．先根据题中的等式找出规律，再求解即可判断．
【详解】解：；
；
；
……
观察上述等式，可得规律为，
∴
，
故选：A．
10. 定义：对任意实数表示不超过的最大整数，如，，．对数字227进行如下运算：；；，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（ ）次运算后的结果为1．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过a的最大整数计算，可得答案．本题考查估算无理数的大小，熟记1至36的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率.
【详解】解：依题意，∵，
∴，
即，
∴第一次运算：，
∵，
∴，
∴第二次运算：，
∵，
∴，
∴第三次运算：，
∵，
∴，
∴第四次运算：，
∴数字1234经过次运算后的结果为1，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 16的平方根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方根定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；据此解答即可．
【详解】解：，
即
16的平方根是，
故答案为：．
12. 比较大小_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较．根据实数的性质，运用比差法计算即可比较大小．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，将边长为1的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形对角线的长度为半径作圆，交数轴于两点，且对应的数分别为、，则_____．

【答案】2
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出圆的半径，分别求出、，即可求解．
本题考查了实数与数轴和勾股定理，解题的关键是：根据勾股定理，求出半径．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴圆的半径为：，
∴，，
，
故答案为：2.
14. 已知关于的一元一次不等式的解集是，则的值是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查根据不等式的解集求字母的值．先解不等式，然后根据不等式的解集是求出的值即可．
【详解】解：，
移项得，
当时，系数化为1得，舍去，
当时，系数化为1得，
∵不等式的解集是，
∴，即，
故答案为：．
15. 方程组的解，都是正数，则整数_____．
【答案】29
【解析】
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x、y的取值，然后根据x、y是正数，解得出k的取值范围，求得整数k的值．此题考查的是一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴得，，
∴③，
把③式代入②式，化简得，
∵x、y的值都是正数，
∴，，
解得，，
∴整数m值为．
故答案为：29．
16. 某市为提高政务服务中心窗口服务质量，经过一段时间的观察，早上开始平均每天有个人在窗口等候，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放3个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放5个售票窗口，需要15分钟恰好不出现排队现象．为减少旅客排队购票时间，车站承诺8分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放_____个售票窗口．
【答案】9
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用．设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，根据题意列方程组得到n与x及y与x的关系式，进而可得8分钟后不排队的现象，可得不等式解决问题．
【详解】解：设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，由题意得
，
解得，
∵要使8分钟内不出现排队现象，则，
∵，
∴将代入，得，
∵m是正整数，
∴m的最小值为9，
∴车站承诺8分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放9个售票窗口，
故答案为：9．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算．根据立方根、负整数指数幂和零次幂的性质进行计算即可．
【详解】解：
．
18. 计算：a(a-2b)-(a-b)2
【答案】-b²
【解析】
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】原式=a2-2ab-a2+2ab-b2=-b2．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19. 解不等式组并将其解集数轴上表示出来．
【答案】，作图见解析
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，即可求解．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
20. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，10
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据乘法公式将多项式化简，再将x与y的值代入即可．
【详解】解：
，
将，代入，
原式
．
21. 观察下列关于自然数的等式：
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：_____；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究；
（1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
（2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明．
【小问1详解】
解：由题意得：第四个等式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：猜想：第个等式为，
证明：等式左边：．
∴等式左右两边相等，
∴第个等式为．
22. 在某次拼图游戏中，欣欣发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，如图2可以解释完全平方公式．
（1）图3可以解释的等式为_________________；
（2）现有如图1所示边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形3张，宽为长为的长方形纸片（为正整数）张，这些纸片可以正好拼出一些长方形，请通过图形、式子或者文字列出所有可能性并说明的最大值．
【答案】（1）
（2）的最大值为7．
【解析】
【分析】本题考查多项式和多项式的乘法，因式分解．
（1）看图从总体和部分，分析即可得出所求的式子；
（2）根据代数式分解因式即可分析解答．
【小问1详解】
解：从总体的看，长方形的长为，宽为，面积为，
从部分看边长为的正方形纸片1张，边长为的正方形2张，宽为长为的长方形纸片3张，面积为，
∴图3可以解释的等式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得，面积为，
可得到，此时；
也可得到，此时；
∴的最大值为7．
23. 某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表：
（1）经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）；
（2）在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案．
【答案】（1）有5种购买方案；
（2）最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用．
（1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案；
（2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可．
【小问1详解】
解：设购买型设备x台，型设备台，
根据题意，得，解得，
因为每一种新设备至少买1台，
所以，2，3，4，5，
所以有5种购买方案；
【小问2详解】
解：根据题意，得，
解得，
则x为4或5，
当时，购买资金为(万元)，
当时，购买资金为 (万元)，
因为，
所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台．
型
型
价格（万元/台）
24
20
产量（吨/月）
720
540
型
型
价格（万元/台）
24
20
产量（吨/月）
720
540