安徽省合肥市第四十二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市第四十二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知．下列不等式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 估计的值应在（ ）
A 3和4之间B. 2和3之间C. 4和5之间D. 和2之间
5. 将不等式组的解集在数轴上表示出来正确的是（ ）
A B.
C. D.
6. 计算（ ）
A. B. 1C. D.
7. 若的积中的二次项系数和一次项系数相等，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为( )
A. －B. 1－C. D.
9. 已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
10. 若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 某微生物的直径为0.00004035m，这个数用科学记数法表示为 ________．
12. 比较大小：______0.5．
13. 若是一个完全平方式，则k=_________．
14. 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则如：，．
（1）如果，则的取值范围为______；
（2）如果，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：．
16. 解不等式：．
17. 先化简，再求值：，其中，
18. 已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
19. 【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
（1）【验证】______；
（2）【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确；
（3）【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
20. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：．
（1）由图2可以得到：______；
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，则值为______；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
21. 已知方程组解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m取值范围；
（2）化简：______；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为？
22. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1） ，_______（用含a、b的式子表示、）；
（2）若，，求；
（3）若图3中阴影部分的面积，，求的值．
23. 某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？
（2）如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？
（3）已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省钱的租车方案．
2023-2024学年安徽省合肥四十二中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．根据平方根与立方根的意义判断即可．
【详解】解：选项A.，故不符合题意，
B. ，故不符合题意，
C. ，故正确，符合题意，
D. ，故不符合题意，
故选：C
2. 已知．下列不等式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵，
∴，
∴变形错误，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴变形正确，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∴变形错误，故选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴变形错误，选项D不符合题意．
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 2和3之间C. 4和5之间D. 和2之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而得到，则．
详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5. 将不等式组的解集在数轴上表示出来正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解①得x＞1，
解②得x≤3．
则不等式组的解集为1＜x≤3，
将其解集在数轴上表示出来为：
故选B．
【点睛】考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
6. 计算（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用．掌握同底数幂乘法的逆用和积的乘方的逆用法则是解题关键．根据幂的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选D．
7. 若的积中的二次项系数和一次项系数相等，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，多项式的系数的定义及解一元一次方程．先将展开，根据积中的二次项系数和一次项系数相等，列出方程求解即可．
【详解】解：
积中的二次项系数和一次项系数相等，
∴，
解得．
故选：D．
8. 如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为( )
A. －B. 1－C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据正方形的面积可知：AD=，则AE=，即点E所表示的数为1-，故选B．
9. 已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据已知等式，得到，，再由得到，求出，再由即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为5，
故选：C．
10. 若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键．
分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【详解】解：由，可得：，
∵关于x的不等式组最多有3个整数解，
∴或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，3，
∴，解得：；
解，得：，
∵方程的解为非正数，
∴，解得：，
综上：，
符合条件的k的整数值为：9，10，和为；
故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 某微生物的直径为0.00004035m，这个数用科学记数法表示为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00004035m，用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 比较大小：______0.5．
【答案】>
【解析】
【分析】先求出两者的差，再结合无理数的估算判断差的正负，从而即可比较大小．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
13. 若是一个完全平方式，则k=_________．
【答案】
【解析】
【分析】这里首末两项是2x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和5的积的2倍，故，可求出答案．
【详解】因为是一个完全平方式，
所以=，
所以．
故答案：．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题关键．
14. 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则如：，．
（1）如果，则的取值范围为______；
（2）如果，则 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查近似数和有效数字、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
（1）根据题意可以得到，然后求解即可；
（2）根据题意可以得到，且为非负整数，然后求解即可．
【详解】解：（1），
，
解得：，
故答案为：；
（2），
，
∴
且为非负整数，
解得：，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】贝泰妮主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算立方根，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
16. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
17. 先化简，再求值：，其中，
【答案】；
【解析】
【分析】根据平方差公式与完全平方公式化简，然后将字母的值代入计算即可求解．
【详解】解：
，
当，时，
原式
【点睛】本题考查了平方差公式与完全平方公式，整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
18. 已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用立方根的定义、算术平方根的定义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值．
（2）将a、b、c的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可．
【小问1详解】
解：∵的立方根是2，8的立方根是2，
∴，
解得：；
∵的算术平方根是4，16的算术平方根是4，
∴，即，
解得：；
∵c是的整数部分，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算，代数式求值．掌握其基本知识点是解题的关键．
19. 【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
（1）【验证】______；
（2）【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确；
（3）【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
【答案】（1）12 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可；
（2）根据平方差公式计算出的结果为，即可得出结论；
（3）由（2）结论可求出，结合题意可得出，同为偶数，即得出，都为整数，即说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
【小问1详解】
解：．
故答案为：12；
【小问2详解】
解：
．
因为m、n都为正整数，
所以为4的倍数，
所以是4的倍数；
【小问3详解】
解：由（2）可知，
所以．
因为两个正整数m、n同为偶数或同为奇数，
所以，同为偶数，
所以，都为整数，
所以这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
20. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：．
（1）由图2可以得到：______；
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，则的值为______；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
【答案】（1）
（2）①45；②
【解析】
【分析】（1）利用大正方形的面积个小正方形的面积个长方形的面积求解即可；
（2）①结合（1）可得出，再代入求值即可；
②根据同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方的逆用法则可得出，由题意可得出，再根据，代入求值即可．
【小问1详解】
解：．
故答案为：；
【小问2详解】
解：①由（1）可知
．
故答案为：45；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
．
【点睛】本题考查整式的应用，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方的逆用，代数式求值．解题的关键是将整体面积划分为几部分之和得出公式，并运用公式求值．
21. 已知方程组的解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：______；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为？
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式：
（1）先利用加减消元法解方程组得到，再由x为非负数，y为负数，得到，解不等式组即可得到答案；
（2）根据（1）所求化简绝对值即可得到答案；
（3）解不等式得到，再根据不等式的解集可得，即，据此可得答案．
【小问1详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解满足x为非负数，y为负数，
∴ ，
解得；
【小问2详解】
解；∵，
∴
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
当时，，不符合题意；
∵不等式的解集为，
∴，
∴，
∴整数m的值为3．
22. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1） ，_______（用含a、b的式子表示、）；
（2）若，，求；
（3）若图3中阴影部分的面积，，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）2
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用：
（1）根据正方形和长方形的面积公式，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论，再结合完全平方公式进行计算即可解答．
（3）根据得到，据此得到，再由，得到，则，即可得到．
【小问1详解】
解：由题意得，；；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
；
【小问3详解】
解：∵图3中阴影部分的面积，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？
（2）如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？
（3）已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省钱的租车方案．
【答案】（1）1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生
（2）甲型客车2辆、乙型客车6辆
（3）最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意找出等量关系是解题关键．
（1）设1辆甲型客车满载时可坐x名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n都为正整数，求解即可；
（3）结合（2）可得出有两种租车方案分别为当，时和当，时，再分别计算出所需租金比较即可．
【小问1详解】
解：设1辆甲型客车满载时可坐x名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生，
由题意得：，
解得：，
答：1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生；
【小问2详解】
解：由题意可知，
整理，得：，
所以．
因为m，n都为正整数，且乙型客车数量多于甲型客车数量，即，
所以，，
答：甲型客车2辆、乙型客车6辆；
【小问3详解】
解：结合（2）可知，；，；
当，时，；
当，时，．
又因为，
所以最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆．