2026届高考一轮复习基础练数学第七章 立体几何与空间向量（第1节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积）

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知识点 71 基本立体图形
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[答案 P070]
1.[多选][苏教必修二 P156 例 3 变式]对如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法, 其中正确的是（）
A. 由一个长方体割去一个四棱柱所构成
B. 由一个长方体与两个四棱柱组合而成
C. 由一个长方体挖去一个四棱台所构成
D. 由一个长方体与两个四棱台组合而成
2.[多选] [人 A 必修二 P106 习题 8.1 第 10 题变式] 下列说法正确的是（）
A. 棱台的侧棱延长后必交于同一点
B. 圆锥的轴截面面积不一定是过顶点截面的最大值（当顶角≥90°时）
C. 存在侧面都是矩形的斜棱柱
D. 圆台的所有过旋转轴的截面都是全等梯形
3.[人 A 必修二 P111 习题8.2 第 1 题变式] 如图, 矩形 O′A′B′C′ 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O′A′= 6 cm,O′C′=2 cm,C′D′=2 cm ,则原图形的形状是_____,其面积为_____ cm2 .
4.[链接人 B 必修四 P78 知识] 扇面是中国书画作品的一种重要表现形式. 一幅扇面书法作品如图所示, 经测量,上、下两条弧分别是半径为 27,12 的两个同心圆上的弧,侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为 2π3 . 若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面的形状、大小一致, 则该几何体的高为（）
A. 15 B. 233 C. 102 D. 12
5.[人 B 必修四 P71 练习 B 第 6 题变式]在三棱锥P-ABC中，PA=3，∠APB=π/3，过BC的平面截棱锥得△P'BC。当P'B+P'C最小时，截面周长的最小值为______。
知识点 72 空间几何体的表面积
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柱体的表面积 S表=S侧+2S底 ; 锥体的表面积 S表=S侧+S底 ; 台体的表面积 S表=S侧+S上+S下 .
旋转体的侧面展开图及其侧面积与表面积
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1.[人 A 必修二 P116 练习第 1 题变式] 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为10 ,则其表面积为（）
A. 123+20 B. 125+20 C. 56 D. 36
2.[人 A 必修二 P118 例 3 变式] 如图,将一个圆柱 4 等分切割, 再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体, 若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 20 , 则原圆柱的侧面积是（）
A. 10π B. 20π C. 100π D. 200π
3.[人 A 必修二 P116 练习第 3 题变式] 鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构. 这种三维的拼插器具内部的凹凸部分 (即榫卯结构)啮合,十分巧妙. 鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同, 一般都是易拆难装, 如图 1, 这是一种常见的鲁班锁类玩具, 图 2 是该鲁班锁类玩具的直观图. 已知该鲁班锁类玩具每条棱的长均为 1 , 则该鲁班锁类玩具的表面积为（）
图 1 图 2
A. 26+62+3 B. 8+82+3
C. 26+63+2 D. 8+83+2
4.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 4 题变式] 如图,在四边形 ABCD 中, AD⊥AB,∠ADC=135∘,AB= 3,CD=2,AD=1 ,则四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为（）
A. 6+42π B. 9+42π
C. 9+92π D. 9+102π
5.[苏教必修二 P215 复习题第 6 题变式]在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马。已知阳马P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥底面，PA=3，PB=5，则该阳马的体积为（）
A. 16 B. 32 C. 36 D. 48
6.[人 B 必修四 P82 练习 A 第 3,5 题变式] 已知圆锥的高为4，其内切球表面积为16π3，则该圆锥的侧面积为（）
A. 83π B. 12π C. 163π D. 15π
7.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 5 题变式] 若正四面体的棱长为 22 ,则其外接球与内切球表面积的比值为（）
A. 3:1 B. 9:1 C. 27:1 D.81:1
知识点 73 空间几何体的体积
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空间几何体的体积公式
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1.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 7 题变式] 某玻璃制品厂需要生产一种如图 1 所示的玻璃杯, 该玻璃杯可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到的, 其近似模型的直观图如图 2 所示 (图中数据的单位为 cm ),则该玻璃杯所用玻璃的体积为（）
A. 43π6 cm3 B. 152π3 cm3
C. 53π6 cm3 D. 155π6 cm3
2.[人 B 必修四 P88 练习 B 第 5 题变式] 如图,球面上有 A,B,C 三点, ∠ABC=90∘ , BA=BC=3 ,球心 O 到平面 ABC 的距离是 322 ,则球 O 的体积是（）
A. 72π B. 36π C. 18π D. 8π
3.[苏教必修二 P207 习题 13.3 第 9 题变式] 已知两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上。若球O的体积为V，则这两个圆锥的体积之和的最大值为（ ）
A. 827V B. 49V C. 12V D. 23V
4.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 3 题变式] 如图,一个三棱柱容器中盛有水,若底面 ABC 水平放置时,水面高为 3 ,那么当侧面 AA1B1B 水平放置时,水面恰好经过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点,则 AA1= _____.
5.[人 B 必修四 P84 例 1 变式] 在棱长为2的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,E,F分别是AA1 , CC1 的中点,G在棱DD1上且DG=13DD1则点B1到平面EFG 的距离为（）
A. 233 B. 62 C. 234 D. 455
6.[人 B 必修四 P85 例 2 变式] 已知一个正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为7 ,过其外接球球心O作平行于底面的平面截得棱台的体积为（）
A. 738 B. 19324 C. 536 D. 9310
7.[苏教必修二 P216 复习题第 13 题变式] 如图, 在直角梯形 ABCD 中, AD=AB=4,BC=2 ,沿中位线 EF 折起,使得 ∠AEB 为直角,连接 AB , CD ,则所得的几何体的体积为_____.
变式探究
一个五面体 ABC−DEF . 已知 AD//BE//CF ,且两两之间距离为 1,AD=1 , BE=2,CF=3 ,则该五面体的体积为（）
A. 36 B. 334+12
C. 3 D. 334−12
知识点71 基本立体图形
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1.答案：AB
解析：组合体可看作长方体割去一个四棱柱（A正确），也可看作长方体与两个四棱柱组合（B正确），并非棱台结构（C、D错误）。
2.答案：ABC
解析：
A. 棱台侧棱延长后必交于一点，正确；
B. 圆锥轴截面面积当顶角≥90°时，过顶点最大截面面积为两母线垂直时的截面，正确；
C. 斜棱柱侧面可以都是矩形，正确；
D. 项需保证轴截面与母线夹角相同，错误。
3.答案：平行四边形，242
解析：原图形中，OA=O′A′=6 cm，高为2×22=42 cm，面积为6×42=242 cm2，形状为平行四边形。
4.答案：C
解析：扇面对应圆台，上底半径r=12，下底半径R=27，扇面所在圆锥母线长L=27×32=40.5，小圆锥母线长l=12×32=18，则圆台母线L−l=22.5，高ℎ=(22.5)2−(27−12)2=506.25−225=281.25=102.8125≈102，选C）。
5.答案：3+332
解析：将三棱锥侧面展开，当P′为PA上一点时，P′B+P′C最小为BC在展开图中的线段长。△PAB中，PA=3，∠APB=60∘，PB=3，AB=3；△PAC同理，展开后BC为等边三角形边长3，截面周长最小值为P′B+P′C+BC=3+332（过程简化）。
知识点72 空间几何体的表面积
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1.答案：C
解析：正四棱台侧面为等腰梯形，高ℎ′=(10)2−(4−22)2=3，侧面积4×(2+4)×32=36，上下底面积22+42=20，表面积36+20=56。
2.答案：B
解析：新几何体增加的表面积为2×2rℎ=4rℎ=20，原圆柱侧面积2πrℎ=10π×2=20π，选B。
3.答案：A
解析：鲁班锁由8个正三棱锥和1个正方体组成，每个三棱锥侧面积为3×34×12，8个三棱锥侧面积8×3×34=63，正方体表面积6×12=6，总表面积2×(6+63)，选A。
4.答案：B
解析：绕AD旋转一周得到组合体为圆锥加圆台，圆锥底面半径AB=3，母线BD=AB2+AD2=10，圆台上下底半径CD=2，AB=3，母线BC=(3−1)2+12=5，表面积π×3×10+π×(32+22)+π×(2+3)×5=9π+42π，选B。
5.答案：A
解析：阳马体积V=13×42×3=16。
6.答案：D
解析：内切球半径r满足4πr2=16π3，r=23，圆锥高ℎ=4，设底面半径为R，母线l，由相似三角形rℎ−r=Rl，且l=R2+42，解得R=3，l=5，侧面积πRl=15π。
7.答案：B
解析：正四面体棱长a=22，外接球半径R=64a=3，内切球半径r=612a=33，表面积比(Rr)2=9:1，选B。
知识点73 空间几何体的体积
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1.答案：B
解析：圆柱体积π×32×6=54π，圆台体积13π×1×(32+3×1+12)=13π3，玻璃杯体积54π−13π3=152π3。
2.答案：B
解析：△ABC为等腰直角三角形，外接圆半径r=322，球心到平面距离d=322，球半径R=r2+d2=3，体积43π×33=36π，选B。
3.答案：A
解析：设球半径为R，两圆锥高分别为ℎ和2R−ℎ，体积和V=13πr2(ℎ+2R−ℎ)=23πr2R，由r2=R2−d2，当d=0时r=R，体积和最大为23πR3=827V（V=43πR3），选A。
4.答案：4
解析：设三棱柱高为ℎ，底面积S，水体积3S。侧面水平时，水面过中点，截面面积为34S，水体积34S×ℎ′=3S，ℎ′=4，即AA1=4。
5.答案：D
解析：以D为原点建立坐标系，E(2,0,1)，F(0,2,1)，G(0,0,23)，EF→=(−2,2,0)，EG→=(−2,0,−13)。平面EFG法向量n=(1,1,−6)，B1E→=(0,−2,−1)，距离d=|B1E→⋅n||n|=455，选D。
6.答案：B
解析：正三棱锥底面边长3，底面积934，侧棱长7，高ℎ=(7)2−(3)2=2，外接球半径R=323×23×(3)2+22=32，截面与底面距离为R2=34，小棱锥高ℎ′=2−34=54，体积比为(54÷2)3=12564，原棱锥体积13×934×2=332，棱台体积332×(1−12564)=19324，选B。
7.答案：163
解析：折叠后为直三棱柱与四棱锥组合体，直三棱柱体积12×2×2×2=4，四棱锥体积13×2×2×2=83，总体积4+83=163。
变式探究
答案：C
解析：将五面体补成棱柱，体积为12×1×(1+2+3)×3=332，减去补的部分体积12×1×1×3=32，五面体体积332−32=3。
多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点, 但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
母线
平行、相等且垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
无
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
任一大圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
无
圆柱
圆锥
圆台
球
侧面 展开图
无
侧面积与 表面积公式
S圆柱侧=2πrl S圆柱表=2πr2+2πrl
S圆锥侧=πrl S圆锥表=πr2+πrl
S圆台侧=πr1+r2l S圆台表=πr12+r22+r1l+r2l
S球表=4πR2
几何体
柱体 (棱柱和圆柱)
锥体 (棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
体积
公式
V=S底ℎ
V=13S底ℎ
V=13S上+S下+S上S下ℎ
V=43πR3