2026届高考一轮复习基础练数学第七章 立体几何与空间向量(第3节 空间直线、平面的平行)

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基本事实 4: 平行于同一条直线的两条直线平行.
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1.【多选】[人 A 必修二 P139 练习第 2 题变式] 如图, 在下列 4 个正方体中, A,B 为正方体的两个顶点, M,N,Q 分别为所在棱的中点,则在这 4 个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 平行的正方体是（）
A. B. C. D.
2.[人 A 必修二 P134 例 1 变式] 如图,四面体 ABCD中,点 E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点,下列条件中,不能证明 EH//FG 的是（）
A. E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点
B. AEEB=AHHD,CFFB=CGGD
C. BD// 平面 EFGH
D. BEEA=BFFC,DHHA=DGGC
3.[苏教必修二 P186 习题 13.2(3) 第 5 题变式] 如图, 在三棱锥 P−ABC 中,点 D,E 分别为棱 PB,BC 的中点. 若点 F 在线段 AC 上,且满足 AD// 平面 PEF ,则 AFFC 的值为（）
A. 1 B. 2 C. 12 D. 23
变式探究
如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中, E 是棱 CC1 的中点, D 是棱 BC 上一点. 若 A1B// 平面 ADE ,则 BDDC 的值为_____.
4.[人 B 必修四 P111 习题 11-3C 第 3 题变式] 如图, 四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点.
(1) 求证: BC// 平面 PAD ;
(2) M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G ,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 HG ,求证: AP//HG .
知识点 76 平面与平面平行的判定与性质
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1. [多选] [人 A 必修二 P142 练习第 2 题变式] 关于平面平行的充分条件，正确的是（）
A.若α内有两条相交直线与β平行，则α∥β
B.若α内存在无数条平行直线与β平行，则α∥β
C.若γ∩α=a，γ∩β=b，且a∥b，则α∥β
D.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
2.[人 B 必修四 P108 练习 B 第 2 题变式] 如图,已知 P 为 △ABC 所在平面外一点,平面 α// 平面 ABC ,且 α 分别交线段 PA,PB,PC 于点 A′,B′ , C′ ,若 PA′:AA′=2:3 ,则 S△A′B′C′:S△ABC=（）

A. 2:3 B. 2:5 C. 4:9 D. 4:25
多维探究 若将 “ PA′:AA′=2:3 ” 改成“ S△A′B′C′S△ABC= 949 ”,则 PA′AA′= _____.
3.[人 A 必修二 P143 练习第 3 题变式] 如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, A1B1 的中点是 P ,过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面, 则该截面的周长为（）
A. 42 B. 25 C. 85 D. 4
变式探究
如图,正方体 ABCD− A1B1C1D1 的棱长为 1, E 是 DD1 的中点, M 是正方形 B1BCC1 所在平面内一动点,若 D1M// 平面 A1BE ,则点 M 的轨迹在正方形 B1BCC1 内的长度为_____.
4 [人 B 必修四 P111 习题 11-3C 第 2 题变式] 如图, 在正三棱台 ABC−A1B1C1 中, BC=3B1C1 , TB=2TC,E,F 分别是 BB1,CC1 的中点, M 为 AC 上一点.
(1)若 M 是 AC 的中点,求证: ME// 平面 AB1C1 ;
(2)若 AB1// 平面 TMF ,求点 M 的位置,并说明理由.
知识点75 直线与平面平行的判定与性质
1.答案：ABD
解析：
A正确：连接正方体棱中点，构造平行四边形，证AB∥MQ。
B正确：AB与平面MNQ内的NQ平行。
D正确：AB∥NQ（NQ为中位线），故AB∥平面MNQ。
C错误：AB与平面MNQ相交。
2.答案：D
解析：
A、B、C正确：分别通过中位线、平行线分线段成比例、线面平行性质证EH∥FG。
D错误：条件推导出EH与FG可能异面或相交。
3.答案：B
解析：
连接DE，D、E为PB、BC中点，故DE∥PC。若AD∥平面PEF，设EF交AD于点G，则EG∥AD。在△ADC中，E为BC中点，故F为AC三等分点，即AFFC=2。
变式探究答案：2
连接A₁C交DE于点F，A₁B∥平面ADE，则A₁B∥DF。E为CC₁中点，故D为BC三等分点，BDDC=2。
4.证明：(1) 四边形ABCD是平行四边形，故BC∥AD。∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD。
(2) 连接AC交BD于O，M为PC中点，故OM∥AP。∵OM⊂平面BDM，AP⊄平面BDM，∴AP∥平面BDM。又平面APGH∩平面BDM=HG，∴AP∥HG。
知识点76 平面与平面平行的判定与性质
1.答案：A
解析：
A正确：面面平行判定定理。
B错误：无数条平行直线可能均平行于两平面交线，无法证面面平行。
C错误：两平面可能相交，交线平行于a、b。
D错误：α、β可能相交（如墙角）。
2.答案：D
解析：平面α∥平面ABC，故△ABC∽△ABC，相似比为PA′PA=25，面积比为相似比平方，即425。
多维探究答案：34
面积比为949，相似比为37，故PA′PA=37，PA′AA′=34。
3.答案：C
解析：过A₁作平行于截面PBC₁的平面，取A₁D₁中点Q，AD中点R，连接A₁Q、QR、RC₁、C₁A₁，截面为菱形A₁QRC₁，边长为42+22=25，周长为85。
变式探究答案：22
取B₁C₁中点F，BC中点G，连接EF、EG，平面A₁BE的平行平面交正方形B₁BCC₁于FG，长度为22。
证明：(1) 取AB₁中点N，连接EN、C₁N。E为BB₁中点，M为AC中点，故EN∥AB且EN=12AB，C₁N∥CM且C₁N=CM，∴四边形ENMC₁为平行四边形，ME∥C₁N。∵C₁N⊂平面AB₁C₁，ME⊄平面AB1C₁，
∴ME∥平面AB1C₁。
(2) 设TM交BC于点D，∵AB₁∥平面TMF，AB₁⊂平面AB₁C₁，平面TMF∩平面AB₁C₁=FD，∴AB₁∥FD。在正三棱台中，BC=3B₁C₁，TB=2TC，故D为BC中点，M为AC上满足FM∥AB₁的点，即M为AC三等分点，靠近C处，AMMC=2。
线面平行的
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 那么该直线与此平面平行.
线面平行的
性质定理
一条直线与一个平面平行, 如果过该直线的平面与此平面相交, 那么该直线与交线平行.
面面平行的
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 那么这两个平面平行.
面面平行的
性质定理
两个平面平行, 如果另一个平面与这两个平面相交, 那么两条交线平行.