四川省成都市第七中学2024-2025学年高二下学期零诊模拟考试数学试题（原卷及解析版）

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一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 点函数图像上三点，的导函数为，若成等差数列，则满足（ ）
A. 成等差数列B. 成等比数列
C. D.
3. 某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（ ）
A. 800B. 600C. 400D. 200
4. 数列是公差不为零的等差数列，其中是等比数列的连续三项，则数列的公比等于（ ）
A. B. C. D. 2
5. 已知双曲线的上下焦点分别为，抛物线与双曲线C有相同的焦点，点为抛物线与双曲线在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 用数字组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（ ）
A. 8个B. 16个C. 24个D. 32个
8. 某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知随机变量X的分布列如下表：
其中成等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A. 成等差数列B.
C D.
10. 当时，直线与曲线有交点，则值可以是（ ）
A. B. 1C. 2D.
11. 已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A 有四个单调区间
B. 存在最小值
C. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等差数列
D. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等比数列
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上.
12. 设随机变量服从二项分布，则_________.
13. 若，则的等差中项为__________.
14. 在三棱锥中，与均为边长为2的正三角形，平面平面是平面内一动点，到点的距离等于到平面的距离，是平面内一动点，，且，则三棱锥体积的最大值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16-17题15分，18-19题17分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列.
（1）令，证明数列是等差数列，并求出通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年应交纳的保费（单位：元）与参保年龄有关，年龄在内所缴保费记为，数列是公差为30的等差数列，前项和为.
（1）根据样本估计总体，求保险公司这一年保费收入；
（2）经调查，年龄在之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）.该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄65岁，若购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？
17. 如图，在四边形中，，点在上，，将沿翻折至，使，点分别是与的中点.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系中，椭圆过点，直线与椭圆相交于不同于点两点，当直线过坐标原点时，直线的斜率乘积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线分别与直线相交于两点，线段的中点为.
①若直线过坐标原点，记的斜率为，直线的斜率为，证明为定值；
②若，判断直线是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.
19. 已知函数.
（1）令函数.
①若函数无极值，求实数的取值范围；
②讨论函数的单调性；
（2）记，数列的前项和为，证明.X
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