【数学】广西合浦县2024-2025学年高二上学期期中检测试题（解析版）

这是一份【数学】广西合浦县2024-2025学年高二上学期期中检测试题（解析版），共99页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】得到，则焦点坐标为．故选：D.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，，所以渐近线方程为，即
故选：C
3. 已知直线与.若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】由于，所以，
此时两直线方程分别，
不重合，符合题意，所以
故选：B
4. 已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，
则，故的标准方程为，故选：A．
5. 一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点路径长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】点关于轴对称的点为，
则该光线从点到点的路径长为．故选：B.
6. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为( ).
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得，则，因为，所以a=2，
则，所以椭圆C的焦距为：故选：D.
7. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，
过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，
则有，
当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立，
所以的最小值为 故选：C.
8. 金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ）
A. A与C是对立事件B. C与D相互独立
C. A与D相互独立D. B与D不互斥
【答案】C
【解析】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：
（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），
（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），
（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），
（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，
其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，.
由可得A与C不是对立事件，选项A错误.
，C与D不相互独立，选项B错误.
，A与D相互独立，选项C正确.
由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，
所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B,D选项正确. 故选：BD.
10. 已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（ ）
A.
B. 点在圆的外部
C. 若直线平分圆的周长，则
D. 圆与圆外切
【答案】ABD
【解析】圆的半径为2，所以，A选项正确.
所以圆的方程为，圆心为，半径为，，所以点在圆的外部，B选项正确.
直线平分圆的周长，则直线过圆心，即，所以C选项错误.
圆的圆心为，半径为，与的距离为
，所以圆与圆外切，D选项正确. 故选：ABD
11. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ）
A. 为质数
B. 为直角三角形
C. 与所成角的正弦值为
D. 几何体的体积为
【答案】BCD
【解析】对于选项A：因为，
所以不是质数，A错误；
对于选项B：因为，则，
所以为直角三角形，B正确；
对于选项C：因为，
所以与所成角的正弦值为，C正确；
对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，
且与该三棱台的底面垂直，，
所以几何体的体积为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与直线之间的距离为______.
【答案】
【解析】由于与直线平行，故距离为，
故答案为：
13. 甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为__________.
【答案】
【解析】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，
所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为故答案为：
14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由题意可得F1-c,0，，由于为平行四边形，故,
直线的方程为，渐近线方程，
联立，故,
所以，
因此，化简得，
故离心率为，故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，平面，平面，四边形为正方形，E，F位于平面的两侧．
（1）若，试用，，表示；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）连接，由题意得，
又，所以；
（2）以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，
所以，，．
设平面的法向量为m=x,y,z，则
令，得，设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成交的正弦值为.
16. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等．
（1）求直线的倾斜角；
（2）若直线过点，求直线的方程；
（3）若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距．
解：（1）设直线，即，则直线的斜率为，
根据，可求得倾斜角为；
（2）将点的坐标代入，可得，所以直线的方程为；
（3）因为直线与直线垂直，所以可设，
因为点到直线的距离，所以，
解得，则直线在轴上的截距为.
17. 已知在中，，，．
（1）求的外接圆的标准方程；
（2）过点作的外接圆的切线，求该切线方程．
解：（1）设的外接圆的标准方程为，
则 解得
故的外接圆的标准方程为．
（2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5．
因为，所以切线的斜率为，
故所求切线方程为，即．
18. 动点Mx,y与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为.
（1）求的方程.
（2）已知直线.
①若直线与相交.求的取值范围；
②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上.
（1）解：根据题意可得，化简得，
即的方程为.
（2）①解：由，得.
由，
解得，所以的取值范围为.
②证明：（方法一）由①中，得.
设直线被截得的线段的中点坐标为，
则，.由，消去可得，
所以直线被截得的线段的中点在直线上.
（方法二）设直线与交于，两点.
设Ax1,y1，Bx2,y2，线段的中点坐标为，
则直线的斜率为，，.
因为点，在上，所以，
两式相减得，
化简得，即，
所以直线被截得的线段的中点在直线上.
19. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）.
（1）求的方程；
（2）若直线与直线的斜率之积为，求的值.
解：（1）因为AB=4，渐近线方程为，所以，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）设点,，,，根据题意知，由，得，
则，，，
而；
由于，
；
，，
，
化简可得，解得，或，
当时，，不符合题意，舍去，
故