广西合浦县2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷(含答案)

这是一份广西合浦县2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
2．双曲线的渐近线方程为( )
A.B.
C.D.
3．已知直线与.若，则( )
A.B.1C.D.2
4．已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则C的标准方程为( )
A.B.
C.D.
5．一束光线从点射出，经y轴反射后经过点，则该束光线从点P到点M的路径长为( )
A.4B.5C.6D.
6．阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为( )
A.B.2C.D.
7．已知抛物线的焦点为F.点，P是C上一个动点，则的最小值为( )
A.4B.5C.6D.8
8．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则( )
A.A与C是对立事件B.C与D相互独立
C.A与D相互独立D.B与D不互斥
二、多项选择题
9．若直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点，则l的方程可以是( )
A.B.
C.D.
10．已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是( )
A.
B.点在圆C的外部
C.若直线平分圆C的周长，则
D.圆与圆C外切
11．在空间直角坐标系中，已知，，，，，，则( )
A.为质数
B.为直角三角形
C.与所成角的正弦值为
D.几何体的体积为
三、填空题
12．直线与直线之间的距离为________.
13．甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为________.
14．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与C的一条渐近线在第四象限相交于点M，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则C的离心率的取值范围为________.
四、解答题
15．如图，平面，平面，四边形为正方形，E，F位于平面的两侧.
(1)若，试用，，表示；
(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知不过原点的直线l在两坐标轴上的截距相等.
(1)求直线l的倾斜角；
(2)若直线l过点，求直线l的方程；
(3)若直线m与直线l垂直，且直线m被圆截得的弦长为2，求直线m在y轴上的截距.
17．已知在中，，，.
(1)求的外接圆的标准方程；
(2)过点B作的外接圆的切线，求该切线方程.
18．动点与定点的距离和M到定直线的距离的比为.记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)已知直线.
①若直线l与C相交.求m的取值范围；
②当直线l与C相交时，证明：直线l被C截得的线段的中点在同一条直线上.
19．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，渐近线方程为，，直线与C的左、右支分别交于点M，N（异于点A，B）.
(1)求C的方程；
(2)若直线与直线的斜率之积为，求m的值.
参考答案
1．答案：D
解析：得到，则焦点坐标为.
故选：D.
2．答案：C
解析：由，得，，
所以渐近线方程为，即
故选：C
3．答案：B
解析：由于，所以，，
此时两直线方程分别为，，
不重合，符合题意，所以.
故选：B
4．答案：A
解析：由题意易得，则，
因为椭圆C的离心率为，所以，
则，
故C的标准方程为，
故选：A.
5．答案：B
解析：点P关于y轴对称的点为，
则该光线从点P到点M的路径长为.
故选：B.
6．答案：D
解析：根据题意可得，则，
因为，所以，则，
所以椭圆C的焦距为：
故选：D.
7．答案：C
解析：
由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，
过点A作垂直于准线，垂足为B，过点P作垂直于准线，垂足为D，
则有，
当且仅当，P为与抛物线的交点时，等号成立，
所以的最小值为6.
故选：C.
8．答案：C
解析：设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：
（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），
（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），
（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），
（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，
其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，.
由可得A与C不是对立事件，选项A错误.
，C与D不相互独立，选项B错误.
，A与D相互独立，选项C正确.
由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误.
故选：C.
9．答案：BD
解析：双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，
，所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，
，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B，D选项正确.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：圆的半径为2，所以，，A选项正确.
所以圆的方程为，圆心为，半径为2，
，所以点在圆C的外部，B选项正确.
直线平分圆C的周长，则直线过圆心，
即，，所以C选项错误.
圆的圆心为，半径为8，
与的距离为，
所以圆与圆C外切，D选项正确.
故选：ABD
11．答案：BCD
解析：对于选项A：因为，，
所以，15不是质数，A错误；
对于选项B：因为，，则，
所以，为直角三角形，B正确；
对于选项C：因为，
所以与所成角的正弦值为，C正确；
对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，
且与该三棱台的底面垂直，，，，，，，，
所以几何体的体积为
，D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由于与直线平行，故距离为，
故答案为：
13．答案：/0.375
解析：由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，
所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为
故答案为：
14．答案：
解析：由题意可得，，
由于为平行四边形，故，
直线的方程为，渐近线方程，
联立，，
故，
所以，
因此，化简得，
故离心率为，
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）连接，由题意得，
又，所以；
（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则
令，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成交的正弦值为.
16．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）设直线，即，
则直线l的斜率为，根据，
可求得倾斜角为；
（2）将点的坐标代入，可得，
所以直线l的方程为；
（3）因为直线m与直线l垂直，所以可设，
因为点到直线m的距离，
所以，
解得，
则直线m在y轴上的截距为.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设的外接圆的标准方程为，
则，解得
故的外接圆的标准方程为.
（2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5.
因为，所以切线的斜率为，
故所求切线方程为，即.
18．答案：(1)；
(2)①；②证明见解析
解析：（1）根据题意可得，
化简得，即C的方程为.
（2）①由，得.
由，
解得，所以m的取值范围为.
②证明：（方法一）由①中，得.
设直线l被C截得的线段的中点坐标为，
则，.
由，消去m可得，
所以直线l被C截得的线段的中点在直线上.
（方法二）设直线l与C交于A，B两点.
设，，线段的中点坐标为，
则直线l的斜率为，，.
因为点A，B在C上，所以，
两式相减得，
化简得，
即，
所以直线l被C截得的线段的中点在直线上.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，渐近线方程为，
所以，解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）设点，，根据题意知，
由，得，
则，
，，
而
；
由于，
；
，，
，
化简可得，解得，或，
当时，，不符合题意，舍去，
故