【数学】安徽省2024-2025学年高二上学期11月期中考试试卷(A卷)（解析版）

这是一份【数学】安徽省2024-2025学年高二上学期11月期中考试试卷(A卷)（解析版），共99页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D.
2. 已知，向量，且，则（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
【答案】A
【解析】因为向量，且，所以，所以.
故选：A
3. 已知点是直线上一点，且是直线的一个方向向量，若角的终边落在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线过点，且平行于向量，所以直线的方程为，
当时，取终边上的点，可得，
当时，取终边上的点，可得，
所以若角的终边落在直线上，则，所以. 故选：A.
4. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】连接，因为是线段的中点，所以，
因为，所以，
所以.
故选：D.
5. 已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，可知圆，
即圆，圆心为，半径，
令，则有：，根据韦达定理及弦长公式可求：，所以，故圆的半径，
故圆，又因为圆，
设AB为两圆的公共弦所在的直线，则有
作差变形可得：；即直线AB的方程为. 故选：C
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，因为六面体是平行六面体，
所以，因为，
代入计算可得：，
故有：，所以，
所以，因为，所以. 故选：B
7. 已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上．
设，则，，．
在中，，得，则，.
在中，，即，得．
所以双曲线C的离心率为.
故选：B
8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点M，N分别在曲线和圆：上，则M，N两点间的最大距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以可以转化为到的距离，同理，可以转化为到的距离，
因为，
所以到两定点和的距离之和为，
所以在以点和为焦点的椭圆上，
设椭圆的标准方程为：，则，即，
又，所以，
所以曲线，即椭圆的方程为：，
又因为圆的圆心为，半径为，
则M，N两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，点在，故，
所以圆心到椭圆上点的距离
，
因为开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，故，则，
所以M，N两点间的最大距离是．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若共线，则
B. 已知，若，则
C. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面
D. 若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】若同向且，此时，即不成立，故A错误；
因为，则，即，得，故B正确；
因为，且，所以P，B，A，C四点共面，故C正确；
假设，
则方程无解，即不存在实数x，y使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故D正确．
故选：BCD.
10. 若，直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线一定经过第一象限
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 的充要条件是
【答案】ABD
【解析】由，即为，令，解得，
所以直线过定点，故A正确；
因为，则的斜率存在且不为零，在轴上的截距，
所以一定经过第一象限，故B正确；
当时，点到直线的距离的最大，
最大值为，故C错误；
若，则，因为，故有，
经检验，符合题意，所以，所以的充要条件是，故D正确．
故选：ABD
11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 存在点，使得
C. 若，则外接圆的面积为
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1，故有：，解得：，
椭圆的离心率，故A正确；
B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，
又因为方程组无解，故B错误；
C选项，设，则，若，即，
在中，由余弦定理可得
，
因为，所以，
根据正弦定理可知，，故C正确；
D选项，设，则：
，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为______.
【答案】
【解析】设，因为，
化简得到圆，是以为圆心，为半径的圆．
故答案为：.
13. 如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为________.
【答案】
【解析】长方体中，，
，
，
，
故
，
解得或，因为，所以满足要求，不合要求，舍去.
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】设，，由题意设直线：，
联立可得：，，
由抛物线的定义可得：，
所以
，
所以，又因为，
所以，解得：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线DE与平面的距离.
（1）证明：因为为直三棱柱，所以，
又，分别为AB，的中点，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）解：因为为直三棱柱，且，以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因，则，
则，
因为，则，即，
设平面法向量为，则，
取，则，，
所以平面的一个法向量为，又，即，
所以点到平面的距离，
因为，分别为AB，的中点，故有直线平面，
所以直线DE与平面的距离即为点到平面的距离，
故直线DE与平面的距离为.
16. 在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程.
解：（1）设圆的标准方程为，故有：
，所以圆的标准方程为；
（2）设弦MN的中点，

当直线斜率不存在时，点与点重合，当直线斜率为0时，点与点重合，
当直线斜率存在且不0时，由垂径定理知：，点的轨迹是以CG为直径的圆．由，得，，
整理得：；
17. 已知四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面，是线段的中点，在线段上，且满足与所成的角为.

（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：因底面，且底面，所以，
又因为为正方形，可得，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，即为，且是线段的中点，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）解：根据题意可知，以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为2，可得，
可得，
则，
因为在线段上，设，其中，
则，
因为与所成的角为，
可得，
解得，所以，所以，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，又，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设平面与平面的夹角为，可得
故平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是.
（1）求双曲线的方程；
（2）记双曲线的左、右顶点分别为，，直线与的右支交于，两点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
（1）解：由题意可得：，设Px,y，F1-c,0，，
，所以，
因为Px,y在双曲线上，所以，所以，
所以，
因为，所以当时，的最小值是，
所以，又，又因为，
所以，所以双曲线的方程为：.
（2）（i）解：设，直线，
由，消元得.
则，且，
则，解得：.
（ii）证明：,,
，
所以是定值.

19. 若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为.
（1）当点坐标为时，求；
（2）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值；
（3）证明：的面积为定值.
（1）解：的共轭点分别记为，
，直线的方程为，
联立得，，；
（2）解：点Ax0,y0在椭圆上，，即，
由（1）知，直线的方程为，即，
当时，直线的方程为，代入，
得，即，
，，
当时，易知，对应共轭点为，
此时，故也成立，
，当且仅当时等号成立；
（3）证明：由（2）知，对任意点Ax0,y0，都有，
，
点Ax0,y0到直线的距离为，
的面积，
故的面积为定值.