安徽省部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学数学试卷（解析版）

这是一份安徽省部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足（i是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由得，.在复平面内对应的点在第一象限.故选:A.
2. 已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A. 3B. 7C. D.
【答案】D
【解析】，.
故选：D.
3. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，直线与直线中，，它们互相垂直，
当直线与直线互相垂直时，，，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.
故选：A
4. 在空间四边形中，点在棱上，且，为棱的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】连接，

.
故选：B.
5. 已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（ ）
A. 或B. 2或
C. 2或4D. 或4
【答案】C
【解析】由题意得，，
有四种情形：
，，；
，，；
，，；
，，.
故选：C.
6. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（ ）
A. 1B. －1C. D.
【答案】D
【解析】设，
联立，消去化简整理得，
所以，
于是
，
解得，
故直线的方程为，
令，解得，所以直线在轴上的截距为，
故选：D.
7. 若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由原不等式得，，
（1）时，，不等式成立，，
（2）当时，，
则原问题转化为求函数的最大值问题，
令，则，其中，
因为在单调递增，所以，因此，
综合（1）、（2）可知，实数的取值范围是.
故选：B.
8. 已知偶函数的定义域为R，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，又是偶函数，则，
可得，令为，
则，因此，所以周期为4.
因为，所以.
又因为，所以.
因为，所以.
于是，.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，对于直线，下列说法中正确的是（ ）
A. 的斜率为
B. 在轴上的截距为－1
C. 不可能平行于轴
D. 与直线的距离是
【答案】BD
【解析】时，的斜率为，时，直线的斜率不存在，A错.
在中，令，则.B对.
当时，直线，平行于轴，C错.
与直线的距离是.D对.
故选：BD.
10. 已知为坐标原点，，圆，则（ ）
A. 圆恒过坐标原点
B. 圆与圆内切
C. 直线与圆相离
D. 圆圆心在单位圆上运动
【答案】ABD
【解析】对于A，满足，所以A对.
对于B，两圆的圆心距是1，，所以B对.
对于C，圆的圆心到直线的距离
，所以C错.
对于D，圆的圆心的坐标满足方程.所以D对.
故选:ABD.
11. 在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的点，且，若，则（ ）
A.
B.
C.
D. 直线与直线的夹角余弦是
【答案】ABD
【解析】因为，
所以，，.
因此A、B对.
因为，
，所以C错.
因为
，
，
，所以，
直线与直线的夹角余弦是.所以D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，是函数的零点，则的值为________.
【答案】
【解析】由得，.即.而，
所以.故.
13. 现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是________.
【答案】
【解析】设，，分别为第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，
则；；，
因此“恰有一名女志愿者”的概率为.
14. 过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是________，此时直线的方程是________.
【答案】 48
【解析】设Aa,0，，其中，，则直线方程为.
在直线上，.
又，即，.
所以，
当且仅当时取等号，再结合解得，，，
所以面积的最小值为48，
此时直线的方程为，
即.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足.
（1）求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）若点，求的最小值和最大值.
解：（1）设动点，则就是，
即，整理得，.
故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为.
（2）就是，其半径是4，
圆心是，.
显然在圆外，故的最小值是，最大值是.
16. 记内角、、的对边分别为，，，已知，.
（1）求角的大小；
（2）若角为锐角，且的面积为，求的边长.
解：（1）设的外接圆半径为，
由，得，
于是，
因为，所以，，
因为，且，，
所以，，
因为，故或.
（2）由题意可知，，
因为，
且，
所以，解得，
故.
17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直.
（1）证明：；
（2）若的角平分线恰好过点，求的面积.
解：（1）由椭圆的定义得，
因为直线与x轴垂直，所以，
即，
故.
（2）因为平分，所以，即，如下图所示：
由和，解得，，
代入得，解得；
故的面积为.
18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
（1）证明：因为，，
由余弦定理得，从而.因此.
又底面，底面ABCD，所以，而，所以平面PAD.又平面PAD，故
（2）解：如图，以D为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系.不妨设，则A1,0,0，，C-1,3,0，P0,0,1.
，，.
设为平面的法向量，
则，即，得到.
同理可得平面的法向量.
于是.
由图形可知，二面角为钝角，
故二面角的余弦值为.

19. 法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理.
（1）求椭圆的蒙日圆方程；
（2）对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是.
（i）证明：平分切点弦；
（ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点，，证明：.
（1）解：考虑边与椭圆长轴和短轴分别平行的矩形知，其对角线之半就是蒙日圆的半径，即，因此椭圆的蒙日圆方程为.
（2）（i）证明：设点是切点弦的中点，Mx1,y1，.
当，都存在时，
两个方程相减得，，
所以，即，.
（或：设所在的直线方程是，联立，
消去得，，，.所以点的坐标是.
于是.）
而，所以，，，，三点共线，
平分切点弦.
当，有一个不存在时，显然成立.
（ii）解：显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，.
于是，，因此，故.