【数学】湖北省孝感市一般高中协作体2024-2025学年高二上学期期中联合考试试卷（解析版）

这是一份【数学】湖北省孝感市一般高中协作体2024-2025学年高二上学期期中联合考试试卷（解析版），共99页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】由题意得，女运动员被抽取的人数为.故选：B.
2. 已知，若，则实数（ ）
A. 0或1B.
C. 1D. 0或
【答案】C
【解析】若，则，解得，或.
时，不存在，舍去，故.故选：C.
3. 袋中装有个白球，只黄球，个红球，从中任取球，抽到的不是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从装有个白球，个黄球，个红球的袋中，任取一球，有种取法，
其中取到不是白球的有10种取法，所以取到不是白球的概率为.
故选：A
4. 已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由圆的方程，得圆心坐标为.
A：将代入方程，等式不成立，故A不符合题意；
B：将代入方程，等式不成立，故B不符合题意；
C：将代入方程，等式成立，故C符合题意；
D：将代入方程，等式不成立，故D不符合题意；
故选：C
5. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因直线和平行，
所以，解得，
所以两直线分别为和，
所以.
故选：B
6. ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
7. 甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】恰好有一个一等品的概率.
故选：C.
8. 已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（ ）
A 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】圆的标准方程为，则，半径，
圆的标准方程为，则，半径，
因为两圆外切，所以，即，所以，
，则，
所以的最大值为，当且仅当时等号成立.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A. 点与点关于轴对称
B. 点与点关于轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
【答案】AD
【解析】点关于轴对称的点是，所以A选项正确；
点关于轴对称的点是，所以B选项错误；
点关于平面对称的点是，所以C选项错误；
空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确．
故选：AD.
10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ）
A. B. 事件A与事件C互斥
C. 事件A与C相互独立D.
【答案】ACD
【解析】由题意可得，
对A，，故A正确；
对B，事件A与事件C可以同时发生，故B错误；
对C，，，所以事件A与C相互独立，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知直线，圆，以下正确的是（ ）
A. 与圆不一定存在公共点
B. 圆心到的最大距离为
C. 当与圆相交时，
D. 当时，圆上仅有一个点到的距离为
【答案】ABD
【解析】由题意可得直线，即
所以直线过定点，
圆的圆心为，半径为，
如图所示，
选项A：根据图象易得与圆不一定存在公共点，故A说法正确；
选项B：当直线变化时，圆心到的最大距离为，
且，故B说法正确；
选项C：当与圆相交时，，解得，故C说法错误；
选项D：当时，直线，此时，圆心到直线的距离，
又圆的半径为，所以圆上仅有一个点到的距离为，故D说法正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，21，23，26，27，34，37，38，则该组数据的分位数为______．
【答案】22
【解析】由，所以该组数据的分位数是第4、5个数据的平均数，
则该组数据的分位数为.
故答案为：22.
13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个．
【答案】
【解析】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为，
设不透明的袋中有个绿球，因为袋中有个红球，个白球，
所以，解得：，
故答案为：8.
14. 棱长为4的正方体中，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】取点关于平面的对称点为，设点到平面的距离为，
则，所以，
以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为4，且，
所以，
，
设平面的法向量为，则，
取，则，则，
所以点到平面的距离.
即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求满足下列条件的直线方程；
（1）过点，且与直线平行的直线方程；
（2）过点，且与直线垂直的直线方程；
（3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解：（1）设与直线平行的直线方程为，
由于过点，代入，解得，可得，
所以所求的方程为；
（2）设与直线垂直的直线方程为；
由于过点，代入，解得，可得，
所以所求的直线方程为；
（3）当直线过原点时，设直线方程为，代入点，，可得，
当直线不过原点时，设直线方程为，
代入点，，可得，
综上，所求直线方程为或.
16. 如图，平行六面体中，与相交于，设，，.
（1）用表示；
（2）若该平行六面体所有棱长均为1，且，求．
解：（1）.
（2）由题意：，，，
，
所以.
17. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长．
解：（1）设动点的坐标为，由已知，又A-2,0，，
所以，所以，
故动点轨迹的方程为；
（2）圆的圆心的坐标为2,3，半径，轨迹的方程可化为，
所以轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
圆与圆的圆心距为，又，所以圆与圆相交，
联立，可得，
所以直线的方程为，
圆心到直线距离，
所以弦的长为.
18. 为推动孝感市乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围内调查了个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照分组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求的值，并求这个休闲旅游乡村评分的平均分；
（2）若评分在分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在）为“推荐指数四颗星”，评分在90,100为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，求这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
解：（1）由频率分布直方可知，解得；
则这个休闲旅游乡村评分的平均分为：（分）；
（2）“推荐指数四颗星”乡村数为（个）；
“推荐指数五颗星”乡村数为（个）；
按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星” 乡村抽取个，
“推荐指数五颗星” 乡村抽取个，
从个乡村中随机抽取个乡村共有种情形，
其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形，
所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率.
19. 如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形是梯形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
（3）点是线段上的动点，上是否存在点，使平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
（1）证明：由平面与底面所成角为，即，
所以，又，所以；
因为四边形是梯形，，，可得；
又可得，
因此满足，可得；
由平面，平面，可得，
易知平面，
可得平面，又平面，
因此平面平面；
解：（2）根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知，
由点是的中点，点是的中点，，
即，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，
令，可得；可得
而，所以点到平面的距离为；
即点到平面的距离为.
（3）由点是线段上的动点，可设，
即，所以；
因此，
设，又，
因此可得；
又，
若平面，可得，
解得；可得，
即存在点，当时，满足平面.